Вајерштрасова теорема о екстремној вредности — разлика између измена

нема резимеа измене
м (је променио име чланку '''Теорема о екстремној вредности''' у Вајерштрасова теорема о екстремној вредности)
[[Слика:ExtremeValueTheorem.png|оквир|десно|Непрекидна функција на затвореном интервалу има минимум (плаво) и максимум (црвено).]]
'''Вајерштрасова теорема о екстремној вредности''' ('''Теорема о екстремној вредности''') у [[математичка анализа|математичкој анализи]] тврди да ако је функција -{''f''(''x'')}- [[непрекидна функција|непрекидна]] на затвореном интервалу -{[''a'',''b'']}-, тада -{''f''(''x'')}- има максималну и минималну вредност на том интервалу најмање једном.
 
То јест, постоје бројеви ''-{c}-'', и ''-{d}-'' у интервалу -{[''a'', ''b'']}-, такви да за ''свако'' ''-{x}-'' у -{[''a'', ''b'']}- важи
:<math>l \le f(x) \le L.</math>
 
ТеоремаВајерштрасова теорема о екстремној вредности појачава теорему о ограничености тврдњом да не само да је функција ограничена, већ да има и најмању горњу границу као максимум, и највећу доњу границу као минимум.
 
ТеоремаВајерштрасова теорема о екстремној вредности се користи у доказу [[Ролова теорема|Ролове теореме]].
 
== Доказ теореме ==
Навешћемо доказ за максимум, а доказ за минимум је врло сличан. Такође, треба имати у иду да је цео доказ изведен у контектсту [[реалан број|реалних бројева]].
 
Прво доказујемо теорему о ограничености, која је корак у доказивању Вајерштрасове теореме о екстремној вредности. Основни кораци у доказу теореме о екстремној вредности су:
 
# Доказати теорему о ограничености.
Претпоставимо да ''-{f}-'' није ограничена. Тада, по Архимедовом својству реалних бројева, за свако ''-{m}-'', постоји ''-{x}-'' унутар -{[''a'', ''b'']}- такво да -{''f''(''x'') > ''m''}-. Специјално, за свако ''-{k}-'' из '''-{N}-''', постоји <math>x_k</math> такво да ''-{f}-''(<math>x_k</math>) > ''-{k}-''. Ово дефинише низ <math>x_k</math>. Како је -{[''a'', ''b'']}- ограничено, по [[Болцано-Вајерштрасова|Болцано-Вајерштрасовој теореми]], постоји конвергентан подниз {<math>x_{n_k}</math>} од {<math>x_k</math>}. Како је -{[''a'', ''b'']}- затворен, {<math>x_{n_k}</math>} конвергира неком ''-{x}-'' у -{[''a'', ''b'']}-. Како је -{''f''(''x'')}- непрекидна на -{[''a'', ''b'']}-, знамо да ''-{f}-''(<math>x_{n_k}</math>) конвергира ка -{''f''(''x'')}-. Али, ''-{f}-''(<math>x_{n_k}</math>) > <math>n_k</math> > -{k}- за свако -{k}-, што имплицира да ''-{f}-''(<math>x_{n_k}</math>) дивергира ка бесконачности, што је контрадикција. Следи да је -{''f''(''x'')}- ограничена одозго.
 
=== Доказ Вајерштрасове теореме о екстремној вредности ===
Сада ћемо показати да -{''f''(''x'')}- има максимум унутар -{[''a'', ''b'']}-. Према теореми о ограничености, ''-{f}-'' је ограничено одогзо, постоји ''-{c}-'' најмања горња граница (супремум) од -{''f''(''x'')}-. Неопходно је наћи <math>x_0</math> у -{[''a'', ''b'']}- такво да <math>c=f({x_0})</math>. Нека је ''-{n}-'' природан број. Како је ''-{c}-'' ''најмања'' горња граница, <math>c-1/n</math> није горња граница за -{''f''(''x'')}-. Стога, постоји <math>x_n</math> у -{[''a'', ''b'']}- такво да <math>c-1/n</math> < -{f}-(<math>x_n</math>). Ово дефинише низ {<math>x_n</math>}. Како је ''-{c}-'' горња граница за -{''f''(''x'')}-, <math>c-1/n</math> < -{f}-(<math>x_n</math>) ≤ ''-{c}-'' за свако ''-{n}-''. Стога, {''-{f}-''(<math>x_n</math>)} конвергира ка ''-{c}-''.
 
 
== Тополошка формулација ==
У [[општа топологија|општој топологији]], Вајерштрасова теорема о екстремној вредности потиче из опште чињенице да је компактност очувана под непрекидношћу, и чињенице да је подскуп реалне праве компактан ако и само ако је и затворен и ограничен.
 
== Спољашње везе ==
* [http://www.cut-the-knot.org/fta/fta_note.shtml Доказ теореме о екстремној вредности]