Подгрупа (математика) — разлика између измена

м
Разне исправке; козметичке измене
м (Bot: Migrating 28 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q466109 (translate me))
м (Разне исправке; козметичке измене)
 
== Основна својства подгрупа ==
* ''-{H}-'' је подгрупа групе ''-{G}-'' [[ако и само ако]] је непразна и затворена за производ и инверзе. (Затвореност значи следеће: кад год су ''-{a}-'' и ''-{b}-'' унутар ''-{H}-'', тада је и ''-{ab}-'' и ''-{a}-''<sup>&minus;1</sup> су такође унутар ''-{H}-''. Ова два услова могу да се споје у један еквивалентан услов: кад год су ''-{a}-'' и ''-{b}-'' унутар ''-{H}-'', тада је и ''-{ab}-''<sup>&minus;1</sup> унутар ''-{H}-''.) У случају када је ''-{H}-'' коначно, тада је ''-{H}-'' подгрупа ако и само ако је ''-{H}-'' затворено у односу на производе. (У овом случају, сваки елемент ''-{a}-'' из ''-{H}-'' генерише коначну [[циклична група|цикличну подгрупу]] од ''-{H}-'', и инверз од ''-{a}-'' је тада ''-{a}-''<sup>&minus;1</sup> = -{''a''<sup>''n'' &minus; 1</sup>}-, где је ''-{n}-'' ред од ''-{a}-''.
* Горњи услов се може изрећи у терминима [[хомоморфизам|хомоморфизама]]; то јест, ''-{H}-'' је подгрупа групе ''-{G}-'' ако и само ако је ''-{H}-'' подскуп од ''-{G}-'' и постоји инклузиони хомоморфизам (т. ј., -{i(''a'') = ''a''}- за свако ''-{a}-'') из ''-{H}-'' у ''-{G}-''.
* Неутрал подгрупе је неутрал групе: ако је ''-{G}-'' група са неутралом -{''e''<sub>''G''</sub>}-, и ''-{H}-'' је подгрупа од ''-{G}-'' са неутралом -{''e''<sub>''H''</sub>}-, тада је -{''e''<sub>''H''</sub> = ''e''<sub>''G''</sub>}-.
* Инверз елемента подгрупе је инверз елемента групе: ако је ''-{H}-'' подгрупа од ''-{G}-'', и ''-{a}-'' и ''-{b}-'' су елементи из ''-{H}-'', такви да -{''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''H''</sub>}-, тада -{''ab'' = ''ba'' = ''e''<sub>''G''</sub>}-.
* Пресек подгрупа ''-{A}-'' и ''-{B}-'' групе ''-{G}-'' је такође подгрупа. Унија ''-{A}-'' и ''-{B}-'' је подгрупа ако и само ако или ''-{A}-'' садржи ''-{B}-'' или обратно, јер на пример 2 и 3 су у унији -{2Z}- и -{3Z}- али њихова сума 5 није.
* Ако је ''-{S}-'' подскуп од ''-{G}-'', тада постоји минимална подгрупа која садржи ''-{S}-'', која се може наћи узимањем пресека свих подгрупа које садрже ''-{S}-''; ово се означава са -{<''S''>}- и назива се подгрупом генерисаном са ''-{S}-''. Елемент из ''-{G}-'' је унутар -{<''S''>}- ако и само ако је коначан производ елемената ''-{S}-'' и њихових инверза.
* Сваки елемент ''-{a}-'' из групе ''-{G}-'' одређује (генерише) цикличну подгрупу -{<''a''>}-. Ако је -{<''a''>}- изоморфно са -{'''Z'''/''n'''''Z'''}- за неки позитиван цео број ''-{n}-'', онда је ''-{n}-'' најмањи позитиван цео број за који -{''a''<sup>''n''</sup> = ''e''}-, и ''-{n}-'' се назива ''редом'' од ''-{a}-''. Ако је -{<''a''>}- изоморфно са '''-{Z}-''', тада се каже да је ''-{a}-'' ''бесконачног реда''.
 
== Пример ==
 
[[Лагранжова теорема (теорија група)|Лагранжова теорема]] гласи да за коначну групу ''-{G}-'' и њену подгрупу ''-{H}-'',
:<math> [ G : H ] = { o(G) \over o(H) } </math>
где -{red(''G'')}- и -{red(''H'')}- означавају [[ред (теорија група)|редове]] од ''-{G}-'' и ''-{H}-''. Ред сваке подгрупе од ''-{G}-'' (и ред сваког елемента ''-{G}-'') обавезно дели -{red(''G'')}-.
 
'''Десни косети''' су дефинисани аналогно: -{''Ha'' = {''ha'' : ''h''}- у ''-{H}-''}. Они су такође класе еквиваленције за одговарајућу релацију еквиваленције, и њихов ред је једнак -{[''G'' : ''H'']}-.
 
Ако је -{''aH'' = ''Ha''}- за свако ''-{a}-'' из ''-{G}-'', тада се каже да је ''-{H}-'' [[нормална подгрупа]]. Свака подгрупа индекса 2 је нормална: леви и десни косети су једноставно подгрупа и њен комплемент.
363.220

измена