Свођење на контрадикцију — разлика између измена
Садржај обрисан Садржај додат
Removed interwikis |
м Разне исправке; козметичке измене |
||
Ред 5:
Овде се имплицитно користи закон контрадикције (односно закон о противречности) који тврди да једна категорична изјава не може бити истовремено и истинита и неистинита. Такође је овде битан и закон искључења треће могућности. Дакле једна категорична изјава не може бити истовремено ни истинита ни неистинита. Другим речима, ако није истинита она мора бити неистинита и обрнуто.
== Историја ==
Ова логичка метода је поникла код хеленских филозофа. Претпоставља се да први пут није употребљена у
Следећа карика је [[Сократ]], велики филозоф мада не и математичар, који је увео хипотезу у математичко мишљење. Он тврди да поред истине постоји и хипотеза, претпоставка, тврдња, па онда изводи логичке последице. Ако се том приликом наиђе на противречност тада је једини узрок била лоша претпоставка те се она има одбацити. Због овога неки Сократа сматрају утемељивачем логике.
Ред 16:
Међутим, највећи допринос примени ове методе је дао [[Архимед]]. Он је у својим списима ову методу дотерао до неслућених размера чак превазилазећи границе којима је метода предодређена. Архимед је, према сопственом признању, нашао неке затурене списе атомиста са њиховим генијалним, али логички слабо поткованим тврдњама и схвативши да су њихови закључци истинити успео да нађе заобилазне методе да до тих резултата дође на потпуно оригиналан али збуњујући начин. Ово се сазнало тек двадесет векова после његове смрти, случајним проналаском једног затуреног списа у коме је он открио како је смишљао и проналазио решења за компликоване проблеме које је решавао. Његова метода увођења међукорака, заобилазних претпоставки и лема, а потом свођења на бесмислицу почетних тврдњи је и за математичаре -{XVII}- и -{XVIII}- века представљала извор очајања.
Овако изграђени, Архимедови докази нису давали упутства како ову методу применити и на неке друге,
== Математика ==
У [[Математичка логика|математичкој логици]] је свођење на контрадикцију представља на следећи начин:
Ред 33:
::<math>S \vdash p</math>
У претходном је ''p'' тврђење које желимо да потврдимо или оповргнемо, ''S'' је скуп исказа који су дати као истинити
== Пример ==
==== Доказ да корен из 2 није рационалан број ====
Овај доказ је довео многе питагорејце на руб нервног слома, јер је означио крај владавине идеалних односа и склада међу бројевима (а богами и њихове школе). Не зна се да ли је одмах изведен на овај начин, јер га је тек Аристотел прибележио оваквог, али је био вероватно сличан.
Пошто доказујемо да је <math>\sqrt2</math> [[Ирационалан број|ирационалан]], крећемо од супротне претпоставке. Хајде да претпоставимо да није!
* Дакле претпоставимо да су [[хипотенуза]] и [[катета]] једнакокраког [[Правоугли троугао|правоуглог троугла]] самерљиви
:* '' Њихов однос је однос два цела ([[Узајамно прости бројеви|узајамно проста]]) броја, које не можемо даље скратити, односно да је <math>\sqrt2 = p/q</math>''
:* ''квадрирањем се добија <math>{p^2\over q^2} = 2</math> односно <math>p^2 = 2\cdot q^2 </math>''
:* ''следи да је <math>p^2 \,</math> па према томе и <math>p\,</math> паран број, па ћемо га представити као <math>p=2\cdot r\,</math>''
:* ''тада је <math>p^2 = 4 \cdot r^2 = 2 \cdot q^2</math> одакле је <math>q^2 = 2 \cdot r^2</math>''
:* ''следи да је <math>q\,</math> такође паран број, што је супротно од наше прве претпоставке да су и <math>p\,</math> и <math>q\,</math> узајамно прости бројеви
Овим је доказано постојање ирационалних бројева, међутим за старе Хелене је ово био моменат напуштања аритметике и баратања бројевима и потпуни прелазак на геометрију.
| |||