Хелмхолцова једначина — разлика између измена

:<math>\nabla^2 A + k^2 A = ( \nabla^2 + k^2) A = 0. </math> (6)

:<math>\frac{d^2{T}}{d{t}^2} + \omega^2T = \left( { d^2 \over dt^2 } + \omega^2 \right) T = 0,</math>

:<math> ( \nabla^2 + k^2 ) A = 0 </math> (7)

\left( r {\partial A \over \partial r} \right)

гдеeгдее Θ мора да буде периодична са периодом 2π. Одатле следи:

: <math> A (r, \theta, \varphi)= \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell ( a_{\ell m} j_\ell ( k r ) + b_{\ell m} y_\ell ( k r ) ) Y ^ m_\ell ( { \theta,\varphi} ) .</math>

<math> j_\ell ( k r ) </math> и <math> y_\ell ( k r )</math> [[сферна Беселова функција|сферне Беселове функције]], а :<math> Y^m_\ell ( {\theta,\varphi} )</math> представља [[Сферни хармоници|сферне хармонике]].

=e^{ik|x|}\triangle\frac{1}{|x|}+2\left ( \operatorname{grad}\,\,e^{ik|x|}, \operatorname{grad}\frac{1}{|x|}\right )+\frac{1}{|x|}\triangle e^{ik|x|}+\frac{k^2}{|x|}e^{ik|x|}=</math>

=-4\pi e^{ik|x|}\delta(x)+\left ( -\frac{2ik}{|x|^2}+\frac{2ik}{|x|^2}-\frac{k^2}{|x|}+\frac{k^2}{|x|}\right )e^{ik|x|}=-4\pi\delta(x).