Бернулијеви полиноми

Бернулијеви полиноми у математици представљају полиноме, који су добили име према Јакобу Бернулију, а сусрећу се приликом изучавања многих специјалних функција, а посебно Риманове зета функције и Хурвицове зета функције.

Општи облик

$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}$, где су ${n \choose k}$ — биномни коефицијенти, а $\ B_{k}$ — Бернулијеви бројеви.

Или

$B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{m \choose k}(x+k)^{n}.$

Генерирајућа функција и чланови

Генерирајућа функција Бернулијевих полинома је:

${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

Бернулијеви полиноми

Неколико првих Бернулијевих полинома:

$\ B_{0}(x)=1,$

$B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},$

$B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},$

$B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,$

$B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}x,$

$B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x,$

$B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.$

Својства

$\ B_{n}(0)=B_{n}$.

Рачунајући извод генерирајуће функције по x добија се:

$t^{2}\ e^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}$.

Лева страна разликује се од генерирајуће функције само по t, па је:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}$.

Из чега се добија

${\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!}}$, а онда је

$\ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)$.

Из последње једначине добија се правило интегрирања Бернулијевих полинома:

$\ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt$.

$\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=1$ (када је $n>0$ )

Следећа сума позната као Фаулхаберова формула даде се приказати помоћу Бернулијевих полинома:

$\sum _{k=0}^{x}k^{p}={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}.$

Интеграли

$\int _{a}^{x}B_{n}(t)\,dt={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}$

Definite integrals

$\int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\mbox{ for }}m,n\geq 1$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0