Имагинарни број

Све степени од $i$ претпостављају вредности из плаве области
$i -3 = i$
$i -2 = -1$
$i -1 = - i$
$i 0 = 1$
$i 1 = i$
$i 2 = -1$
$i 3 = - i$
$i 4 = 1$
$i 5 = i$
$i 6 = -1$
$i$ је 4. корен јединице

У математици, имагинарни број је комплексни број чији је квадрат негативан реалан број. Имагинарни бројеви имају облик $bi$ ,^{[note 1]} гдје је $b$ реалан број различит од нуле и $i$ имагинарна јединица за коју важи: $i^{2}=-1$ .^[1]^[2] Квадрат имагинарног броја $bi$ је $- b 2$ . На пример, $5 i$ је имагинарни број, а његов квадрат је $-25$ . По дефиницији, нула се сматра и реалном и имагинарном.^[3]

Првобитно скован у 17. веку од стране Ренеа Декарта^[4] у дерогативном конетексту и сматран измишљеним или бескорисним, овај концепт је стекао широку прихваћеност након радова Леонхарда Ојлера (у 18. веку) и Огистена Луја Кошија и Карла Фридриха Гауса (почетком 19. века).

Имагинарни број $bi$ може бити додат уз реалан број, формирајући тако комплексни број $z$ облика $z=a+bi$ , код којег је $a$ „реалан део“, а $bi$ је „имагинарни део“. Имагинарни бројеви се дакле могу сматрати као комплексни бројеви код којих је „реалан део“ нула.^[5]

Историја уреди

Илустрација комплексне равни. Имагинарни бројеви су на вертикалној координатној оси.

Грчки математичар Херон из Александрије наводи се као први који је приметио имагинарне бројеве.^[6]^[7] Рафаел Бомбели је 1572. године дефинисао скуп ових бројева и основне операције са њима. У то време, имагинарне бројеве су појединци сматрали као фиктивне и беспотребне. Многи други математичари су били спори у томе да прихвате употребу имагинарних бројева, као што је био Рене Декарт који је погрдно писао о њима у свом раду „Геометрија“.^[8]^[9] Декарт је био први који је употребио појам „имагинаран број“ 1637. године. Ова идеја није била широко прихваћена све до радова Леонарда Ојлера (1707-1783) и Карла Фридриха Гауса (1777-1855). Геометријску значајност комплексних бројева је први пронашао Каспар Весел (1745-1818).^[10]

Године 1843, Вилијам Роуан Хамилтон је проширио идеју осе имагинарних бројева у равни на четвородимензионални простор кватерниона имагинарија у коме су три димензије аналогне имагинарним бројевима у комплексном пољу.

Геометријска репрезентација уреди

Комплексни конјугат

Ротација за 90 степени у комплексној равни

Геометријски гледано, имагинарни бројеви се налазе на вертикалној оси на комплексној равни. Код броја 0 на $x$ -оси, може се нацртати $y$ -оса са позитивним правцом нагоре. Позитивни имагинарни бројеви се повећавају према горе, док се негативни смањују према доле. Ова вертикална оса се често назива имагинарна оса и означава се као " $i\mathbb {R}$ ", " $\mathbb {I}$ " или једноставно као "Im".^[11] and is denoted $i\mathbb {R} ,$ $\mathbb {I} ,$ or $ℑ$ .^[12]

У овој репрезентацији множење са -1 је једнако ротацији од 180 степени у односу на координатни почетак. Множење са $i$ је једнако ротацији од 90 степени у "позитивном" правцу (у правацу супротном правцу казаљке на сату). Једначина $i^{2}=-1$ се интрепретира као две ротације од 90 степени у односу на координатни почетак, што је исти резултат као једна ротација од 180 степени. Треба запазити да ротација од 90 степени у негативном правцу (правцем казакље на сату) исто задовољава ову интерпретацију. Ово потврђује чињеницу да $-i$ такође решење једначине $x^{2}=-1$ .

Множење комплексним бројем је исто као ротирање око координатног почетка помоћу аргумента комплексног броја, након чега следи скалирање по његовој магнитуди.^[13]

Степеновање имагинарне јединице уреди

Степеновање имагинарног броја $i$ се кружно понавља. Ово се може видети у следећем примеру где $n$ представља било који број:

$i^{4n}=1$ ,
$i^{4n+1}=i$ ,
$i^{4n+2}=-1$ ,
$i^{4n+3}=-i.$ ,

Ово доводи до закључка да је $i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$ .

Квадратни корени негативних бројева уреди

Неопходно је обратити пажњу када се ради са имагинарним бројевима који су изражени као главне вредности квадратног корена негативних бројева:^[14]

6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.

То се понекад пише као:

-1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (fallacy) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.

Заблуда се јавља као једнакост ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$ није остварива када променљиве нису на одговарајући начин ограничене. У том случају, једнакост не важи јер су оба броја негативна, што се може показати на следећи начин:

{\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},

где су $x$ и $y$ позитивни реални бројеви.

Види још уреди

Напомене уреди

^ $j$ is usually used in engineering contexts where $i$ has other meanings (such as electrical current)

Референце уреди

^ Uno Ingard, K. (1988). „Chapter 2”. Fundamentals of Waves and Oscillations. Cambridge University Press. стр. 38. ISBN 0-521-33957-X.
^ Weisstein, Eric W. „Imaginary Number”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-10.
^ Sinha, K.C. (2008). A Text Book of Mathematics Class XI (Second изд.). Rastogi Publications. стр. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.
^ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes (illustrated изд.). Springer Science & Business Media. стр. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extract of page 121
^ Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). College Algebra: Enhanced Edition (6th изд.). Cengage Learning. стр. 66. ISBN 978-1-4390-4379-0.
^ Hargittai, István (1992). Fivefold Symmetry (2 изд.). World Scientific. стр. 153. ISBN 981-02-0600-3.
^ Roy, Stephen Campbell (2007). Complex Numbers: lattice simulation and zeta function applications. Horwood. стр. 1. ISBN 978-1-904275-25-1.
^ Descartes, René, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)
^ Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8 , discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.
^ Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). „Chapter 10”. A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space. Springer. стр. 382. ISBN 0-387-96458-4.
^ von Meier, Alexandra (2006). Electric Power Systems – A Conceptual Introduction. John Wiley & Sons. стр. 61—62. ISBN 0-471-17859-4. Приступљено 2022-01-13.
^ Webb, Stephen (2018). „5. Meaningless marks on paper”. Clash of Symbols – A Ride Through the Riches of Glyphs. Springer Science+Business Media. стр. 204—205. ISBN 978-3-319-71350-2. doi:10.1007/978-3-319-71350-2_5.
^ Kuipers, J. B. (1999). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality. Princeton University Press. стр. 10—11. ISBN 0-691-10298-8. Приступљено 2022-01-13.
^ Nahin, Paul J. (2010). An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one]. Princeton University Press. стр. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Extract of page 12

Литература уреди

Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
Apostol, Tom (1981). Mathematical analysis. Addison-Wesley.
Argand (1814). „Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise” [Reflections on the new theory of complex numbers, followed by an application to the proof of a theorem of analysis]. Annales de mathématiques pures et appliquées (на језику: француски). 5: 197—209.
Gauss, C. F. (1831). „Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda.” [Theory of biquadratic residues. Second memoir.]. Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (на језику: латински). 7: 89—148.
Solomentsev, E.D. (2001). „Complex number”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Penrose, Roger (2005). The Road to Reality: A complete guide to the laws of the universe. Alfred A. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4.
Derbyshire, John (2006). Unknown Quantity: A real and imaginary history of algebra. Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7.
Needham, Tristan (1997). Visual Complex Analysis. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1.
Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
Conway, John B. (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 978-0-387-90328-6.
Joshi, Kapil D. (1989). Foundations of Discrete Mathematics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-21152-6.
Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007). „Section 5.5 Complex Arithmetic”. Numerical Recipes: The art of scientific computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивирано из оригинала 13. 03. 2020. г. Приступљено 11. 07. 2022.
Solomentsev, E.D. (2001). „Complex number”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Bourbaki, Nicolas (1998). „Foundations of mathematics § logic: set theory”. Elements of the history of mathematics. Springer.
Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3rd изд.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009465-9.
Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2.
Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$ . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1. — A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
Ebbinghaus, H. D.; Hermes, H.; Hirzebruch, F.; Koecher, M.; Mainzer, K.; Neukirch, J.; Prestel, A.; Remmert, R. (1991). Numbers (hardcover изд.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2. — An advanced perspective on the historical development of the concept of number.

Спољашње везе уреди

How can one show that imaginary numbers really do exist? – an article that discusses the existence of imaginary numbers.
5Numbers programme 4 BBC Radio 4 programme
Why Use Imaginary Numbers? Архивирано на сајту Wayback Machine (25. август 2019) Basic Explanation and Uses of Imaginary Numbers

[1] $j$ is usually used in engineering contexts where $i$ has other meanings (such as electrical current)

[2] Uno Ingard, K. (1988). „Chapter 2”. Fundamentals of Waves and Oscillations. Cambridge University Press. стр. 38. ISBN 0-521-33957-X.

[3] Weisstein, Eric W. „Imaginary Number”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-10.

[4] Sinha, K.C. (2008). A Text Book of Mathematics Class XI (Second изд.). Rastogi Publications. стр. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.

[5] Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes (illustrated изд.). Springer Science & Business Media. стр. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extract of page 121

[6] Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). College Algebra: Enhanced Edition (6th изд.). Cengage Learning. стр. 66. ISBN 978-1-4390-4379-0.

[7] Hargittai, István (1992). Fivefold Symmetry (2 изд.). World Scientific. стр. 153. ISBN 981-02-0600-3.

[8] Roy, Stephen Campbell (2007). Complex Numbers: lattice simulation and zeta function applications. Horwood. стр. 1. ISBN 978-1-904275-25-1.

[9] Descartes, René, Discours de la méthode (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book three, p. 380. From page 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires." (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x³ – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)

[Martinez-10] Martinez, Albert A. (2006), Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8 , discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.

[11] Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). „Chapter 10”. A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space. Springer. стр. 382. ISBN 0-387-96458-4.

[Meier-12] von Meier, Alexandra (2006). Electric Power Systems – A Conceptual Introduction. John Wiley & Sons. стр. 61—62. ISBN 0-471-17859-4. Приступљено 2022-01-13.

[13] Webb, Stephen (2018). „5. Meaningless marks on paper”. Clash of Symbols – A Ride Through the Riches of Glyphs. Springer Science+Business Media. стр. 204—205. ISBN 978-3-319-71350-2. doi:10.1007/978-3-319-71350-2_5.

[14] Kuipers, J. B. (1999). Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality. Princeton University Press. стр. 10—11. ISBN 0-691-10298-8. Приступљено 2022-01-13.

[15] Nahin, Paul J. (2010). An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one]. Princeton University Press. стр. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Extract of page 12

[note 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]