Равномерна непрекидност

Дефиниција

Функцију $f:X\rightarrow \mathbb {R}$, где је $X\subseteq \mathbb {R}$, а функција је непрекидна на скупу $X$, називамо равномерно (униформно) непрекидном на том скупу, ако се за свако $\varepsilon >0$, може наћи позитивно $\delta$, тако да за сваке две тачке њеног домена које се налазе на растојању мањем од $\delta$, важи $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$.

Односно, услов равномерне непрекидности функције $f$ на скупу $X$ се може записати као:

$(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x_{1},x_{2}\in X)(|x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon )$.

Дискусија дефиниције

Оправданост ове дефиниције, поред дефиниције саме непрекидности функције потиче од тога - да би функција била непрекидна у свакој тачки свог домена $X$, потребно је наћи најмање $\delta =\delta _{0}$ од свих околина сваке тачке домена, за које би онда важило:

$(\forall x,x_{0}\in X)(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ).$

Ако је скуп $X$ коначан, то је могуће урадити. Међутим, када $X$ није коначан, не постоји гаранција да ће такво најмање $\delta =\delta _{0}$ уопште постојати. Тиме је оправдана постојаност наведене дефиниције равномерне непрекидности.

Критеријум за одређивање равномерне непрекидности

Главни чланак: Канторов став о равномерној непрекидности

Општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција даје Канторов став о равномерној непрекидности. Теорема се може доказати коришћењем Борел-Лебегове леме о покривачима и потпокривачима.

Теорема

Ако је функција $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ непрекидна на интервалу $[a,b]$, она је и равномерно непрекидна на њему.

Доказ

Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ непрекидна на интервалу $[a,b]$ (дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку $x$ из тог сегмента постоји нека околина $U(x)=(x-\delta ,x+\delta )$ и за све тачке $x_{1}\in U(x)$ важи: $|f(x)-f(x_{1})|<{\frac {\varepsilon }{2}})$.

Изаберимо 2 тачке, $x_{1},x_{2}\in U(x)$. Тада је:

$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leq |f(x)-f(x_{1})|+|f(x)-f(x_{2})|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .$

Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника, $U'(x)=(x-{\frac {\delta }{2}},x+{\frac {\delta }{2}})$. Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента $[a,b]$, добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент $[a,b]$, па скуп тих интервала чини покривач сегмента $[a,b]$. Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан потпокривач тог интервала, тј. да постоје тачке $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ тако да њихове околине $U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}$ образују подпокривач сегмента $[a,b]$. Како тачака $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ има коначно много, може се међу њиховим околинама пронаћи најмање ${\frac {\delta _{i}}{2}}$ и означимо га са $\delta$.

Изаберимо сада неку тачку $x'$ из интервала $[a,b]$ која припада неком од интервала $U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}$, што записујемо: $|x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$.

Изаберимо и тачку $x''$ из интервала $[a,b]$ која се налази у $\delta$-околини тачке $x'$, тј. $|x'-x''|<\delta$. То можемо урадити по дефиницији, зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је $\delta \leq {\frac {\delta _{i}}{2}}$, онда је сигурно и $|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$.

Сада, из $|x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ и $|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ имамо да је:

$|x_{i}-x''|\leq |x'-x_{i}|+|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}+{\frac {\delta _{i}}{2}}=\delta _{i},$

тј. обе тачке, и $x'$ и $x''$, припадају $\delta _{i}$-околини тачке $\delta _{i}$, односно, обе се налазе унутар неке околине $(x-\delta _{i},x+\delta _{i})$, па имамо да је онда $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$, што је и требало доказати.

Види још

• Непрекидна функција
• Борел-Лебегова лема
• Канторов став о равномерној непрекидности

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.