Ред (математика)

Ред је збир математичких објеката $a_{i}$ тј. $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...$.

Објекти $a_{1},a_{2},...,a_{n},...,$ који се називају чланови реда, могу означавати бројеве, или функције, или векторе, или матрице, итд. Већ према томе шта су му чланови, ред може бити нумерички ред, функционални ред, ред вектора, ред матрице. Уместо наведеног, развијеног записа реда, често се наводи скраћени запис $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k},$ или, понекад, још краће $\sum a_{k}.$ За ред кажемо да је конвергентан, ако постоји коначна гранична вредност $\lim _{n\to \infty }S_{n}=S,$ где је $S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$. $S$ се назива сума реда а $S_{n}$ n-та парцијална сума реда. Ако ред није конвергентан, онда кажемо да је дивергентан. Ред може имати и облик

$\sum _{k=-\infty }^{+\infty }a_{k}=...+a_{-n}+...+a_{-1}+a_{0}+a_{1}+...+a_{n}+...,$ (нпр. Лоранов ред) али и облик

$\sum _{i,j=1}^{\infty }a_{ik}=(a_{11}+a_{12}+...+a_{1n}+...)+(a_{21}+a_{22}+...+a_{2n}+...)+...+(a_{n1}+a_{n2}+...+a_{nn}+...),$

Неки типови редова

• Геометријски ред је ред код кога се узастопни чланови добијају множењем претходних константним бројем. На пример:

$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.$

У општем случају, геометријски ред

$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$

конвергира акко |z| < 1.

• Хармонијски ред је ред

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.$

Хармонијски ред дивергира.

• Алтернирајући ред је ред код кога узастопни чланови имају супротне знаке. На пример:

$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}.$

• Ред

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}$

конвергира ако r > 1 а дивергира за r ≤ 1, што се може показати интегралним критеријумом за конвергенцију редова. Као функција од r, сума овог реда је Риманова зета функција.

• Телескопски ред

$\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$

конвергира ако низ b_n конвергира лимесу L када n тежи бесконачности. Тада је вредност реда b₁ − L.

Апсолутна конвергенција

Главни чланак: апсолутна конвергенција

За ред

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

се каже да апсолутно конвергира ако ред апсолутних вредности

$\sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|$

конвергира. У овом случају, почетни ред, и сва његова преуређења, конвергирају, и конвергирају ка истој суми.

По Римановој теореми о редовима, ако ред условно конвергира, увек може да се нађе преуређење чланова реда тако да преуређени ред дивергира. Штавише, ако су a_n реални, и S је било који реалан број, може се наћи преуређење које ће да конвергира ка S.

Генерализације

Асимптотски ред

Асимптотски редови, иначе асимптотске експанзије, су бесконачни редови чији парцијалне суми постају добре апроксимације у граници неке тачке домена. Уопштено говорећи, они не конвергирају, али су корисни као редови апроксимација, од којих сваки даје вредност блиску жељеном одговору за коначан број појмова. Разлика је у томе што се асимптотски ред не може направити да произведе одговор онолико тачан колико се жели, на начин на који то може конвергентни ред. Заправо, након одређеног броја чланова, типичан асимптотски ред достиже своју најбољу апроксимацију; ако се укључи више појмова, већина таквих серија ће дати лошије одговоре.

Дивергентни редови

Главни чланак: Дивергентни редови

У многим околностима, пожељно је доделити лимит реду који не успева да конвергира у уобичајеном смислу. Метод сумабилности је такво додељивање лимита подскупу скупа дивергентних редова који правилно проширује класични појам конвергенције. Методе сабирања укључују Чезарово сумирање, (C,k) сумирање, Абелово сумирање и Борелово сумирање, у растућем редоследу уопштености (и стога применљиво на све дивергентније серије).

Познато је мноштво општих резултата у вези са могућим методама сабирања. Силверман–Топлицова теорема карактерише методе сабирања матрице, које су методе за сабирање дивергентног реда применом бесконачне матрице на вектор коефицијената. Најопштији метод за сабирање дивергентног низа је неконструктиван и односи се на Банахове лимите.

Сумације над произвољним скуповима индекса

Дефиниције се могу дати за суме над произвољним индексним скупом $I.$ Постоје две главне разлике у односу на уобичајени појам серије: прво, не постоји одређени редослед на скупу $I$; друго, овај скуп $I$ може бити небројив. Појам конвергенције треба ојачати, јер концепт условне конвергенције зависи од уређења индексног скупа.

Ако је $a:I\mapsto G$ функција из индексног скупа $I$ до скупа $G,$ онда је „серија” повезана са $a$ формални збир елемената $a(x)\in G$ преко индексних елемената $x\in I$ означено са

$$\sum _{x\in I}a(x).$$

Када се индексни скуп састоји од природних бројева $I=\mathbb {N} ,$ функција $a:\mathbb {N} \mapsto G$ је низ означен са $a(n)=a_{n}.$ Ред индексиран природним бројевима је уређена формална сума и зато се ${\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}$ може записати као ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }}$ да би се нагласио редослед индукован природним бројевима. Тако се добија уобичајена нотација за ред индексиран природним бројевима

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots .$$

Породице ненегативних бројева

Приликом сабирања породице $\left\{a_{i}:i\in I\right\}$ ненегативних реалних бројева, дефинише се

$$\sum _{i\in I}a_{i}=\sup \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ коначно }}\right\}\in [0,+\infty ].$$

Када је супремум коначан онда се скуп $i\in I$ такав да је $a_{i}>0$ може пребројати. Заиста, за свако $n\geq 1,$ кардиналност $\left|A_{n}\right|$ скупа $A_{n}=\left\{i\in I:a_{i}>1/n\right\}$ је коначна, јер

$${\frac {1}{n}}\,\left|A_{n}\right|=\sum _{i\in A_{n}}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .$$

Ако је $I$ пребројиво бесконачно и набројано као $I=\left\{i_{0},i_{1},\ldots \right\}$ онда горе дефинисани збир задовољава

$$\sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{i_{k}},$$

под условом да је вредност $\infty$ дозвољена за збир серије.

Сваки збир над ненегативним реалним вредностима може се схватити као интеграл ненегативне функције у односу на меру бројања, што објашњава многе сличности између ове две конструкције.

Абелове тополошке групе

Нека је $a:I\to X$ мапа, такође означена са $\left(a_{i}\right)_{i\in I},$ из неког непразног скупа $I$ и $X$ је Хаусдорфова абелова тополошка група. Нека је $\operatorname {Finite} (I)$ колекција свих коначних подскупова $I,$ са коначним ⁡$\operatorname {Finite} (I)$ посматрано као усмерен скуп, уређен према укључивању $\,\subseteq \,$ са унијом као спојем. За породицу $\left(a_{i}\right)_{i\in I},$ се каже да се безусловно сабира ако је следећа граница, која је означена са $\sum _{i\in I}a_{i}$ и назива се збир $\left(a_{i}\right)_{i\in I},$ који постоји у $X:$

$$\sum _{i\in I}a_{i}:=\lim _{A\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in A}a_{i}=\lim \left\{\sum _{i\in A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ коначно }}\right\}$$

Узимајући да је збир $S:=\sum _{i\in I}a_{i}$ лимит коначних парцијалних сума значи да за сваку околину $V$ извора у $X,$ постоји коначан подскуп $A_{0}$ од $I$ тако да

$$S-\sum _{i\in A}a_{i}\in V\qquad {\text{ за сваки коначни суперскуп }}\;A\supseteq A_{0}.$$

Пошто $\operatorname {Finite} (I)$ није потпуно уређено, ово није лимит реда парцијалних сума, већ нето вредност.

Види још

• Двоструки ред
• Степени ред
• Фуријеов ред
• Тејлоров ред

Литература

• Bromwich, T. J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
• Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). „Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 36 (3): 192—197. Bibcode:1950PNAS...36..192D. PMC 1063182 . PMID 16588972. doi:10.1073/pnas.36.3.192 . 
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate изд.), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1 
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces. Berlin,New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541. 
• Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces. Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250. 
• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces. London New York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184. 
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158. 

MR0033975

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 10, 1972.
• Andrews, George E. (1998). „The geometric series in calculus”. The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 105 (1): 36—40. JSTOR 2589524. doi:10.2307/2589524. 
• Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 278–279, 1985.
• Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 8, 1987.
• Courant, R. and Robbins, H. "The Geometric Progression." §1.2.3 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 13–14, 1996.
• James Stewart (2002). Calculus, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39339-7
• Larson, Hostetler, and Edwards (2005). Calculus with Analytic Geometry, 8th ed., Houghton Mifflin Company. ISBN 978-0-618-50298-1
• Moise, Edwin E. (1967), Calculus: Complete, Reading: Addison-Wesley 
• Pappas, T. "Perimeter, Area & the Infinite Series." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 134–135, 1989.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042 
• Roger B. Nelsen (1997). Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-700-7
• C. H. Edwards Jr. (1994). The Historical Development of the Calculus, 3rd ed., Springer. ISBN 978-0-387-94313-8.
• Swain, Gordon and Thomas Dence (април 1998). „Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited”. Mathematics Magazine. 71 (2): 123—30. JSTOR 2691014. doi:10.2307/2691014. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Eli Maor (1991). To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite, Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02511-7
• Morr Lazerowitz (2000). The Structure of Metaphysics (International Library of Philosophy), Routledge. ISBN 978-0-415-22526-7
• Carl P. Simon and Lawrence Blume (1994). Mathematics for Economists, W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-95733-4
• Mike Rosser (2003). Basic Mathematics for Economists, 2nd ed., Routledge. ISBN 978-0-415-26784-7
• Edward Batschelet (1992). Introduction to Mathematics for Life Scientists, 3rd ed., Springer. ISBN 978-0-387-09648-3
• Richard F. Burton (1998). Biology by Numbers: An Encouragement to Quantitative Thinking, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57698-7
• John Rast Hubbard (2000). Schaum's Outline of Theory and Problems of Data Structures With Java, McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-137870-3
• Oresme, Nicole (c. 1360). Quaestiones super Geometriam Euclidis [Questions concerning Euclid's Geometry]. 
• Mengoli, Pietro (1650). „Praefatio [Preface]”. Novae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum [New arithmetic quadrature (i.e., integration), or On the addition of fractions]. Bologna: Giacomo Monti. 
• Bernoulli, Johann (1742). „Corollary III of De seriebus varia”. Opera Omnia. Lausanne & Basel: Marc-Michel Bousquet & Co. стр. 8. 
• Bernoulli, Jacob (1689). Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque summa finita [Arithmetical propositions about infinite series and their finite sums]. Basel: J. Conrad. 
• Bernoulli, Jacob (1713). Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis [Theory of inference, posthumous work. With the Treatise on infinite series…]. Basel: Thurneysen. стр. 250—251. 

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Series”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Infinite Series Tutorial
• „Series-TheBasics”. Paul's Online Math Notes.