Струвеове функције H α ( x ) {\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)} Беселове диференцијалне једначине :
x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − α 2 ) y = 4 ( x / 2 ) α + 1 π Γ ( α + 1 2 ) {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y={\frac {4{(x/2)}^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}} Открио их астроном
уреди
Функције су назване према руском астроному Херману Струвеу , који их је открио 1882 . да би решио извесне проблеме луминозитета у астрономији . Комплексни број α представља ред Струвеове функције. Модификована Струвеова функција L α ( x ) {\displaystyle \mathbf {L} _{\alpha }(x)} − i e − i α π / 2 H α ( i x ) {\displaystyle -ie^{-i\alpha \pi /2}\mathbf {H} _{\alpha }(ix)}
Дефиниција
уреди
Хомогено решење Беселове једначине су Беселове функције , а решење нехомогене горенаведене Беселове једначине је Струвеова функција, која развијена у ред има следећи облик:
H α ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m Γ ( m + 3 2 ) Γ ( m + α + 3 2 ) ( x 2 ) 2 m + α + 1 {\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{\Gamma (m+{\frac {3}{2}})\Gamma (m+\alpha +{\frac {3}{2}})}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha +1}} где је Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} гама функција .
Модификована Струвеова функција L ν ( z ) {\displaystyle \mathbf {L} _{\nu }(z)}
L ν ( z ) = ( z 2 ) ν + 1 ∑ k = 0 ∞ 1 Γ ( 3 2 + k ) Γ ( 3 2 + k + ν ) ( z 2 ) 2 k {\displaystyle \mathbf {L} _{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma ({\frac {3}{2}}+k)\Gamma ({\frac {3}{2}}+k+\nu )}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}} Интегрални облик Струвеове функције је:
H α ( x ) = 2 ( x / 2 ) α π Γ ( α + 1 2 ) ∫ 0 π / 2 sin ( x cos τ ) sin 2 α ( τ ) d τ . {\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)={\frac {2{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{\pi /2}\sin(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }(\tau )d\tau .} Рекурзивне релације
уреди
Струвеове функције задовољавају следеће рекурзивне релације:
H α − 1 ( x ) + H α + 1 ( x ) = 2 α x H α ( x ) + ( x / 2 ) α π Γ ( α + 3 2 ) {\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha -1}(x)+\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}\mathbf {H} _{\alpha }(x)+{\frac {{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {3}{2}})}}}
H α − 1 ( x ) − H α + 1 ( x ) = 2 d H α d x − ( x / 2 ) α π Γ ( α + 3 2 ) . {\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha -1}(x)-\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)=2{\frac {\mathrm {d} \mathbf {H} _{\alpha }}{\mathrm {d} x}}-{\frac {{(x/2)}^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {3}{2}})}}.} Веза са другим функцијама
уреди
Струвеове функције целобројнога реда могу да се прикажу помоћу Веберових функција E n n ненегативни цели број онда је:
E n ( z ) = 1 π ∑ k = 0 [ n − 1 2 ] Γ ( k + 1 / 2 ) ( z / 2 ) n − 2 k − 1 Γ ( n − 1 / 2 − k ) H n {\displaystyle \mathbf {E} _{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (k+1/2)(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma (n-1/2-k)}}\mathbf {H} _{n}} E − n ( z ) = ( − 1 ) n + 1 π ∑ k = 0 [ n − 1 2 ] Γ ( n − k − 1 / 2 ) ( z / 2 ) − n + 2 k + 1 Γ ( k + 3 / 2 ) H − n . {\displaystyle \mathbf {E} _{-n}(z)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (n-k-1/2)(z/2)^{-n+2k+1}}{\Gamma (k+3/2)}}\mathbf {H} _{-n}.} Струвеове функције реда n +1/2 (n је цели број) могу да се изразе преко Беселових функција :
H − n − 1 / 2 ( z ) = ( − 1 ) n J n + 1 / 2 ( z ) {\displaystyle \mathbf {H} _{-n-1/2}(z)=(-1)^{n}J_{n+1/2}(z)} Струвеове функције могу да се представе и помоћу поопштене хипергеометријске функције :
H α ( z ) = ( z / 2 ) α + 1 / 2 2 π Γ ( α + 3 / 2 ) 1 F 2 ( 1 , 3 / 2 , α + 3 / 2 , − z 2 / 4 ) . {\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha +1/2}}{{\sqrt {2\pi }}\Gamma (\alpha +3/2)}}{}_{1}F_{2}(1,3/2,\alpha +3/2,-z^{2}/4).} Асимптотски облик
уреди
За велико x добија се асимптотски облик:
H α ( x ) − Y α ( x ) → 1 π Γ ( α + 1 2 ) ( x 2 ) α − 1 + O ( ( x / 2 ) α − 3 ) {\displaystyle \mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{\alpha -1}+O\left({(x/2)}^{\alpha -3}\right)} где је Y α ( x ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)}
Литература
уреди
Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers , McGraw-Hill.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
Струвеове функције 
![{\displaystyle \mathbf {E} _{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (k+1/2)(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma (n-1/2-k)}}\mathbf {H} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8961b7a2742207fc052ad365047604f6f8aad312)
![{\displaystyle \mathbf {E} _{-n}(z)={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\frac {\Gamma (n-k-1/2)(z/2)^{-n+2k+1}}{\Gamma (k+3/2)}}\mathbf {H} _{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d579072e41fc2192afef7163a14dc50e5c7c38)
