Функција преноса

Функција преноса, један је од начина математичког описа динамичког понашања система. Углавном се користи у теорији аутоматског управљања, комуникација и дигиталне обраде сигнала. Представља диференцијални оператор, који изражава однос између улаза и излаза линеарног стационарног система. Знајући улаз система и функцију преноса, може се реконструисати излазни сигнал. Једноставније речено, преносна функција је математички приказ односа између улаза и излаза динамичког система.

Функција преноса система.

У временском домену, такав систем карактерише импулсни одзив, трансформацијом улазног сигнала U(t) у излазни сигнал Y(t). Са одговарајућом трансформацијом могу се заменити улазни сигнал у U(s) и излазни у Y(s), па је њихов однос функција преноса. У теорији управљања, функција преноса система дефинише се као однос Лапласове трансформације излазног сигнала и улаза, са нултим почетним условима.

Карактеристике линеарних стационарних система: Линеарност подразумева да однос, између улаза и излаза система, задовољава исту законитост, у функцији времена. Технички речено, линеарни систем има следећа својства: ако је сигнал на улазу x(t) = A·x1(t) + B·x2(t) онда је сигнал на излазу система y(t) = A·y1(t) + B·y2(t) Излаз система yi(t) је одговор на улазни сигнал (утицај) xi(t), за било које константе A и B. Стационарно, значи да је излаз система, као одговор на било који улаз истог је временског кашњења, за било коју апликацију. У ужем смислу, временско кашњење излаза биће увек исто, у односу на улазни сигнал, услед утицаја система.

За континуалне сигнале, функција преноса помоћу Лапласа даје опште информације о систему, посебно информације о његовој стабилности.

Линеарни стационарни системи

При разматрању теорије линеарних стационарних система, усвојено је да је однос излазног и улазног сигнала функцију преноса:

Веза између временског и фреквентног домена.

$W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$,

Где је:

• $U(s)\!$ — улазни сигнал (улаз)
• $Y(s)\!$ — излазни сигнал (излаз, или одзив)
  

У овом облику, улаз и излаз, добијени су са Лапласовом трансформацијом сигнала у временском домену $u(t)\!$ и $y(t)\!$, сагласно релацијама:

$U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }u(t)e^{-st}\,dt$,

$Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt$.

Дискретна функција преноса

За дигитални и дискретно непрекидни систем назива се дискретна функција преноса. Сигнал $u(k)\!$ — улазни дискретни сигнал одговарајућег система, а $y(k)\!$ — је дискретни излазни сигнал, $k=0,1,2,\dots \!$. Тада се функција преноса система $W(z)\!$ може написати у облику:

$W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}$,

Где је $U(z)\!$ и $Y(z)\!$ — z-конверзија за сигнале $u(k)\!$ и $y(k)\!$ сагласно:

$U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }u(k)z^{-k}$,

$Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }y(k)z^{-k}$.

Однос са другим динамичким карактеристикама

• Амплитудно и фазно фреквентни одзив може се добити из функције преноса помоћу формалне замене са коплесном променљивом $s\!$ са $j\omega \!$:

$W(j\omega )\equiv W(s),s=j\omega \!$.

• Импулсна функција преноса је оригинал за функцију преноса (Лапласове трансформације).

Особине функције преноса

1. За стационарне објекте преносна функција, сврстава се у рационалне функције са комплексном променљивом ($s\!$):

$W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n}}}$.

1. Именилац функције преноса је карактеристичан полином система. Полови функције преноса су корени карактеристичног полинома.
2. У физички реалним системима, ред бројиоца преносне функције $m\!$, не може прећи ред имениоца $n\!$.
3. Импулсна функција преноса је оригинал за функцију преноса (пре Лапласове трансформације).

Матрица функције преноса

За вишеструки улаз и вишеструки излаз, уводи се систем матрице функције преноса. Матрица функције преноса од улаза вектора система $U(t)\!$ и од вектора излаза $Y(t)\!$, представља матрицу $W=\{w_{i,j}\}\!$, где су њени елементи $i\!$, у томе реду $j\!$. Друга колона представља функцију преноса система од $i\!$, од координате вектора излаза система, на вектор улаза $j\!$.

Функција преноса система са повратном спрегом

Са повратном спрегом

Када систем управљања поседује повратну спрегу (слика десно), тада су уочљиве две функције преноса:

• Функција преноса система са затвореном повратном спрегом, која се назива
  функција спрегнутог преноса
  

$W_{s}(s)={\frac {G}{1+GH}}$,

• функција преноса система са отвореном повратном спрегом, која се назива
  функција повратног преноса
  

$\ W(s)=\ GH$.

Управљање у инжињерству

У инжињерској теорији управљања, функција преноса је изведена помоћу Лапласове трансформације.

Функција преноса је примарни алат, који се користи у класичном управљању у енергетици. Међутим, он се показао гломазан за анализу система са више улаза и са више излаза, и у великој мери замењен је са приказом стања простора за овакве системе. Упркос томе, матрица функције преноса може се увек добити за било који линеарни систем, како би се анализирала динамика и друга својства. Сваки елеменат матрице је функција преноса, односи се на променљиви улаз и излаз.

Оптика

У оптици, функција преноса означава могућност модулације оптичког преноса контраста.

Пример, када се посматра серија црно-белих светлосних пруга, нацртаних са специфичном просторном фреквенцијом, квалитет слике може опадати. Бела пруга бледи док црне постају светлије.

функција преноса модулације ($\mathrm {MTF}$) у одређеним просторним учестаностима је дефинисана:

$\mathrm {MTF} (f)={\frac {M({slika})}{M({izvor})}}$

Где модулација (М) зависи од следеће слике или интензитета осветљења:

$M={\frac {(L_{\mathrm {max} }-L_{\mathrm {min} })}{(L_{\mathrm {max} }+L_{\mathrm {min} })}}$

Види још

• Систем команди лета авиона
• Повратна спрега

Спољашње везе

• Анализа система
• ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems — Short primer on the mathematical analysis of (electrical) LTI systems.
• ECE 209: Sources of Phase Shift — Gives an intuitive explanation of the source of phase shift in two simple LTI systems. Also verifies simple transfer functions by using trigonometric identities.