Хелмхолцова теорема

Хелмхолцова теорема или Хелмхолцова декомпозиција представља једну од теорема векторскога рачуна. Према тој теореми ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље одређени у свакој тачки коначне области, тада унутар ње векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну. Хелмолцова теорема је добила име по Херману фон Хелмхолцу.

Теорем

Ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ одређени у свакој тачки коначне области, тада се унутар те области то векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну, тј:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} ),$

где је:

$\operatorname {rot} \;\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )=0$ и

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} )=0$

То заправо значи да се такво векторско поље може генерирати са два потенцијала, једним скаларним $\varphi$ и другим векторским $\mathbf {A}$.

Потенцијали

Пошто је:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} ),$

$\operatorname {rot} \;\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )=0,$

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} )=0$

Онда се те две функције даду изразити преко скаларнога потенцијала $\varphi$ и векторскога потенцијала $\mathbf {A}$ тј:

$\mathbf {F} _{1}=-\nabla \varphi$

$\mathbf {F} _{2}=\nabla \times \mathbf {A}$

односно:

$\mathbf {F} =-\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} ,$

При томе је:

$\varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}},$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.$

Ако $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ опада довољно брзо у бесконачности, тада друга компонента тежи нули, па вреди:

$\varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V',$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'.$

Лонгитудинална и трансверзална поља

Често се у физици те две компоненте векторскога поља помињу као лонгитудинална и трансверзална компонента. Таква терминологија настала је када се Фуријеовом трансформацијом од поља $\mathbf {F}$ добије поље ${\tilde {\mathbf {F} }}$, које се онда у свакој тачки k декомпонира у две компоненте, од којих је лонгитудиналан у смеру k, а трансверзална вертикална на k. Тада имамо:

${\tilde {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\tilde {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )+{\tilde {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )$

$\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.$

$\mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .$

Инверзном Фуријеровом трансформацијом добијамо:

$\mathbf {F} =\mathbf {F} _{t}+\mathbf {F} _{l}$

$\nabla \cdot \mathbf {F} _{t}=0$

$\nabla \times \mathbf {F} _{l}=\mathbf {0}$

што представља Хелмхолцову декомпозицију.

Литература

• Хелмхолцова теорема
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995)