Симпсоново правило

Симпсоново правило названо тако по Томасу Симпсону је метода из нумеричке анализе којом приближно израчунавамо одређен интеграл неке функције f(x), тј. интересује нас апроксимација .

Функцију f(x) (плава) апроксимирамо уз помоћ квадратне функције P(x) (црвена).

Идеја уреди

Симпсонова формула (или правило) је у ствари део Њутн-Коутс формула. Функцију прво апроксимирамо уз помоћ Лагранжових полинома другог степена, а после уместо да израчунамо интеграл функције  , израчунавамо интеграл добијеног полинома:

 , притом

 

Означимо почетну тачку интеграла  , крајњу  , а тачку у средини   (обратити пажњу на скицу са стране) и добићемо:

 

Овом приликом није приказано како се долази до коначне формуле; рачун није тежак и састоји се од примене једноставних правила за интеграле (на пример, примена интеграла на суму):

 

Када се жели апроксимирати интеграл у интервалу од   до   тада ће за то бити неопходне три тачке дате функције.

Грешка у датом интервалу је:

 , где је  .

Уколико желимо да нађемо највећу могућу грешку односно њену границу, довољно је максимирати четврти извод функције за  :

 

Обзиром да грешка зависи од размака између тачака којима се врши апроксимација, а ако се означи тај размак са  , може се рећи, користећи се O-нотацијом да се грешка налази  .

Сложено Симпсоново правило уреди

Уколико смо незадовољни апроксимацијом, један од начина за побољшање је да интервал поделимо на више делова (мањих интервала) те да на сваком појединачно применимо Симпсоново правило и на крају их саберемо.

Означимо број тачака са  , а размак између њих са   и добићемо:

 ,

што такође можемо написати као

 

или као производ вектора (  ):

 .

Грешка за сложено Симпсоново правило је:

 ,  

или када желимо да јој нађемо границу:

 

Такође, као што видимо, формулу за Симпсоново правило можемо извести и из комбинације трапезоидног правила и правила правоугаоника (  означава апроксимацију интеграла функције   између датих   и  ,   то исто за трапезоидно правило, а   за правило правоугаоника):

 

Адаптивно Симпсоново правило уреди

У пракси се понекад сусрећемо са ситуацијама када је нека функција у одређеним областима „досадна“ и чије интеграле можемо да израчунамо врло лако са мало тачака (када је функција релативно „испеглана"), док је у одређеним областима врло променљива и ту нам за добру апроксимацију треба много више тачака.

Да бисмо то постигли, користићемо се тактиком "подели па владај":

  1. Израчунај средишну тачку датог интервала  :  
  2. Израчунај апроксимацију интеграла за   користећи се Симпсоновим правилом (назовимо је  
  3. Израчунај апроксимације за подељен интервал (означимо је   и  ) уз помоћ обичног Симпсоновог правила.
  4. Уколико смо задовољни разликом  , резултат је  .
  5. Уколико нисмо, наставимо даље рекурзивно примењујући адаптивно Симпсоново правило на интервале   и  , а резултат је њихова сума.

Грешка адаптивног Симпсоновог правила уреди

Обележимо резултат адаптивног Симпсоновог правила примењеног на интервалу   за функцију   са  , a размак између двеју тачака са   онда важи:

За  :  

За  :  

Из тога даље закључујемо, под претпоставком  :

 
 

Тако можемо даље доћи до (разумно) приближне вредности грешке:

 

Ова приближна грешка је врло згодна као критеријум за крај рекурзије.

Спољашње везе уреди