Суперелипса

Суперелипса или Ламеова крива је затворена крива која подсећа на елипсу, задржавајући геометријске карактеристике полу-главне осе и полу-мале осе и симетрије око њих али другачијег облика. Специјални случајеви ових кривих, а припадају фамилији суперелипса су: ружа- криве, супер-ружа криве и суперспирале.

СуперелипсеУреди

Нека x и y Декартове координате у равни  . Тада је једначина круга полупречника r, чији је центар у координатном почетку О дата са

 ,

и једначина елипсе са полуосама   и   , са центром у координатном почетку О дата са

 

Француски математичар Gabriel Lamé (1795-1870), бавио се проучавањем ових кривих и увео је фамилију тзв. „суперелипси“. Према Ламеу, кругови и елипсе, исто као квадрати и правоугаоници, укључени су у фамилију тзв. „суперелипси“ тј. равних кривих датих Декартовим једначинама облика

(1)  

при чему су    позитивни бројеви.

Специфични случајеви (Ламеових кривих)Уреди

Формула (1) дефинише затворену криву која се налази у правоугаонику   и   . Параметри   и   се називају полупречник кривине.

Када је    између 0 и 1, суперелипса има облик звезде, док за  , краци те звезде су направљени од лукова параболе.

Ако је  , крива је дијамант са теменима ,  и  , ако је   између 1 и 2, изгледа као дијамант са истим теменима али са конвексне (споља закривљене) стране.

Ако је    крива је обична елипса, а ако је   веће од 2, та површина изгледа као правоугаоник са угловима.[1]

Математичка својстваУреди

Преласком на поларне координате   и  , тако да је

 

Где уз то уводећи коефицијент   (који допушта увођење специфичних ротационих симетрија око 0 од оних који се односе на четири квадранта координатног система). Заменом поларних координата у једначину (1) добијамо:

(2)  

при чему  .

Равне криве дате помоћу поларне једначине (2), при чему је у сваком случају    приказене су на слици 4.

Равне криве дате помоћу поларних једначина (2) могу се у извесном смислу интерпретирати, тако као да су добијене полазећи од јединичног круга са центром у 0,  , помоћу трансформације задате десном страном једначине (2) за било који избор параметра  

Ове раванске криве одређене су помоћу поларних једначина   где  у   основи може бити произвољна позитивна реална функција. Њихова поларна једначина је:

(3)  

Једначина ружа- криве (Grandi) је

(4)  

Помоћу трансформације (3) са параметрима   и   добијамо супер-ружа криве.

Једначина логаритамске спирале је  . Помоћу трансформације (3) са параметрима   и  , добијамо суперспирале.[2]

РеференцеУреди

  1. ^ Donald Knuth: The METAFONTbook, p. 126
  2. ^ dr Leopold Verstraelen, УНИВЕРЗАЛНИ ПРИРОДНИ ОБЛИЦИ, Тангента, Друштво математичара Србије, часопис за математику и рачунарство друштва математичара Србије, број 40, Београд 2004.