Тачне тригонометријске константе

Тачни алгебарски изрази за тригонометријске вредности су понекад корисни, углавном за поједностављење решења у сложеним облицима који омогућавају даље поједностављење.

Основно решење углова јединичног круга чине множиоци углова 30 и 45 степени.

Све вредности синуса, косинуса и тангенса углова са корацима од по 3° могу се у потпуности извести користећи формуле за полууглове, двоструке углове и адиционе формуле за вредности за 0°, 30°, 36°, и 45°. Треба уочити да је 1° = π/180 радијана.

Према Нивеновој теореми, једине рационалне вредности синусне функције за коју је аргумент степена угла рационалан број су вредности 0, 1/2, 1.

Фермаови бројеви уреди

Списак у овом чланку је непотпун због најмање два разлога. Прво, увек је могуће применити формулу за полууглове да бисмо пронашли тачан резултат косинуса једне половине сваког угла на листи, онда половину тог угла, итд. Друго, овај чланак обухвата само прва два од пет познатих Фермаових простих бројева: 3 и 5, док алгебарске вредности такође постоје и за косинус од 2π/17, 2π/257 и 2π/65537. У пракси, све вредности синуса, косинуса и тангенса које нису нађене у овом чланку се приближно одређују помоћу техника описаних у Генерисању тригонометријских табела.

Табела константи уреди

Вредности углова ван опсега [0°, 45°] су изведени тривијално од ових вредности, користећи круг рефлексије осе симетрије. (Видети тригонометријске идентитете.)

У наредним случајевима, у којима је одређени број степени у вези са неким правилним многоуглом, однос је тај да је број степени у сваком унутрашњем углу многоугла (n–2) пута већи од наведеног броја степени (где је n број страница). Разлог томе је чињеница да је збир углова сваког n-тоугла једнак 180°×(n–2), те је величина сваког угла у било ком правилном n-тоуглу једнака 180°×(n–2)÷n. Тако, на пример, у случају "45°: квадрат" значи да је, за n=4, 180°÷n = 45°, и да је број степени било ког унутрашњег угла квадрата једнак (n–2)×45° = 90°.

0°: основно уреди

 
 
 
 

3°: правилан шездесетоугао уреди

 
 
 
 

6°: правилан тридесетоугао уреди

 
 
 
 

9°: правилан двадесетоугао уреди

 
 
 
 

12°: правилан петнаестоугао уреди

 
 
 
 

15°: правилан дванаестоугао уреди

 
 
 
 

18°: правилан десетоугао уреди

 
 
 
 

21°: збир 9° + 12° уреди

 
 
 
 

22.5°: правилан осмоугао уреди

 
 
 
  (сребрни пресек)/(бронзани пресек)

24°: збир 12° + 12° уреди

 
 
 
 

27°: збир 12° + 15° уреди

 
 
 
 

30°: правилан шестоугао уреди

 
 
 
 

33°: збир 15° + 18° уреди

 
 
 
 

36°: правилан петоугао уреди

 
 
где је   златни пресек;
 
 

39°: збир 18° + 21° уреди

 
 
 
 

42°: збир 21° + 21° уреди

 
 
 
 

45°: квадрат уреди

 
 
 
 

60°: једнакостраничан троугао уреди

 
 
 
 

Примедбе уреди

Употребе константи уреди

Као пример употребе ових константи, размотримо додекаедар наредне запремине, где је a дужина неке ивице:

 

Користећи

 
 

могуће је наредно упрошћење:

 

Троуглови извођења уреди

 
Правилан многоугао (N-тоугао) и његов основни правоугли троугао. Угао: a=180/n °

Извођења синусних, косинусних и тангенсних константи у радијалним облицима је засновано на конструктибилности правоуглих троуглова.

Овде се при одређивању тригонометријских пропорција користе правоугли троуглови који потичу од симетричних одсечака правилних многоуглова. Сваки правоугли троугао представља три тачке у правилном многоуглу: теме, средиште странице која садржи то теме и центар многоугла. Сваки n-тоугао може да се подели на 2n правоуглих троуглова са угловима од {180/n, 90−180/n, 90} степени, за n који су 3, 4, 5, ...

Конструктибилност 3, 4, 5, и 15-остраних многоуглова је основа, а симетрале углова омогућавају извођење умношци за по 2.

  • Конструктибилни
    • 3×2n-тострани правилни многоуглови, за n 0, 1, 2, 3, ...
    • 4×2n-тоугао
      • 45°-45°-90° троугао: квадрат (4страни)
      • 67.5°-22.5°-90° троугао: осмоугао (8-страни)
      • 78.75°-11.25°-90° троугао: шеснаестоугао (16-страни)
      • ...
    • 5×2n-тоугао
      • 54°-36°-90° троугао: петоугао (5-страни)
      • 72°-18°-90° троугао: десетоугао (10-страни)
      • 81°-9°-90° троугао: 20-страни
      • 85.5°-4.5°-90° троугао: 40-страни
      • 87.75°-2.25°-90° троугао: 80-страни
      • ...
    • 15×2n-тоугао
      • 78°-12°-90° троугао: 15-страни
      • 84°-6°-90° троугао: 30-страни
      • 87°-3°-90° троугао: 60-страни
      • 88.5°-1.5°-90° троугао: 120-страни
      • 89.25°-0.75°-90° троугао: 240-страни
    • ... (Виши конструктибилни правилни полигони не дају целобројне углове: 17, 51, 85, 255, 257...)
  • Неконструктибилни (са целобројним или половином целобројних величина углова) – Ниједан коначан израз са коренима над реалним бројевима није могућ за ове пропорције међу страницама троугла, те нису могући ни њихови умношци за по 2.
    • 9×2n-тоугао
      • 70°-20°-90° троугао: деветоугао (9-страни)
      • 80°-10°-90° троугао: 18-страни
      • 85°-5°-90° троугао: 36-страни
      • 87.5°-2.5°-90° троугао: 72-страни
      • ...
    • 45×2n-тострани
      • 86°-4°-90° троугао: 45-страни
      • 88°-2°-90° троугао: 90-страни
      • 89°-1°-90° троугао: 180-страни
      • 89.5°-0.5°-90° троугао: 360-страни
      • ...

Израчунате тригонометријске вредности за синус и косинус уреди

Тривијалне вредности уреди

У степенима: 0, 30, 45, 60, и 90 могу да се израчунају из одговарајућих троуглова применом Питагорине теореме.

n × π/(5 × 2m) уреди

 
Chord(36°) = a/b = 1/f, из Птоломејеве теореме

Геометријски метод уреди

Примена Птоломејеве теореме на тетиван четвороугао ABCD дефинисан са четири узастопна темена петоугла, добије се да је:

 

што је реципрочан број 1/φ од златног пресека. Crd је дужина тетиве са централним углом једнаким аргументу у јединичном кругу:

 

Следи

 

(На други начин, без коришћења Птоломејеве теореме, означимо са X пресек AC и BD, и разматрањем углова закључимо да је AXB једнакокрак, те је AX = AB = a. Троуглови AXD и CXB су слични јер су AD и BC паралелне. Зато XC = a·(a/b). Али AX + XC = AC, те a + a2/b = b. Решавањем се добије a/b = 1/φ, као и горе).

Слично

 

те следи

 

Алгебарски метод уреди

Применом формула за вишеструке углове се из познатих вредности тригонометријских функција од  , где   и  , могу добити и вредности функција од  . Формуле вишеструких углова су:

 ,
 .
  • За   или  , означимо   или   и решимо по  :
 .
Једно решење је нула, а резултујућа једначиа четвртог степена може да се реши као квадратна по  .
  • За   или  , поново означимо   или   и решимо по  :
 ,
што може да се растави:
 .

n × π/20 уреди

9° је 45-36, и 27° је 45−18; те користимо формуле за синус и косинус разлике.

n × π/30 уреди

6° је 36-30, 12° је 30−18, 24° је 54−30, и 42° је 60−18; те користимо формуле за синус и косинус разлике.

n × π/60 уреди

3° је 18−15, 21° је 36−15, 33° је 18+15, и 39° је 54−15, те користимо одговарајуће адиционе формуле за синус и косинус.

Стратегије за упрошћавање израза уреди

Рационалисање имениоца уреди

Ако је именилац квадратни корен, помножити бројилац и именилац тим кореном.
Ако је именилац збир или разлика два члана, помножити бројилац и именилац конјугатом имениоца. Конјугат имениоца је идентичан имениоцу изузев промене у знаку између чланова.
Некада је неопходно вишеструко рационалисање имениоца.

Подела разломка на два дела уреди

Некада је корисна подела разломка на збир два, након чега се они засебно упросте.

Квадрирање и кореновање уреди

Ако постоји компликован члан, при чему постоји само једна врста корена, оваква идеја може да помогне. Квадрира се члан, комбинују се слични чланови, а затим се одреди квадратни корен. Ово може да да корен унутар корена, али је углавном бољи облик од полазног.

Упрошћавање израза са угњежденим кореновима уреди

У општем случају није могуће упрошћавање угњеждених коренова.

Међутим, ако је за  ,

 

рационално, а оба броја

 

сз такође рационалнни, уз одговарајући избор четири ± знака, следи

 

На пример,

 

Види још уреди

Литература уреди

Спољашње везе уреди