Теорија категорија

Теорија категорија се користи да формализује математику и њене концепте као колекције објеката и стрелица (морфизама).[1] Теорија категорија може да се користи да формализује већ постојеће теорије на вишем нивоу апстракције као што су теорија скупова, теорија прстена и теорија група. Неколико термина који се користе у теорији категорија, укључујући термин "морфизам", има различито значење у осталим областима математике.

Категорија са објектима X, Y, Z и морфизмима f, g, gf, и три идентичка морфизма (нису приказани) 1X, 1Y and 1Z.

Објекти заједнице су дати објектима који су врхови графа, а њихови односи су означени усмереним бридовима, који се називају стрелицама или морфизмима. Свака категорија по дефиницији уз објекте и њихове усмерене односа представљене морфизмима имају задато асоцијативно пресликавање композиције оних парова стрелица које графички следе у низу (крај једне је почетак друге) и за сваки објект је изабрана посебна стрелица идентитета, којој је и почетак и крај на том објекту. На пример, категоријама се може формализовати заједница свих скупова и њихових пресликавања као односа, заједницу свих прстенова и њихових (хомо)морфизама и заједницу свих група и (хомо)морфизама група. У тим примерима се види да заједница може бити велика, тј. да чини класу у смислу теорије скупова.

Неколика термина кориштених у теорији категорија, укључујући термин „морфизам” се користе другачије него у специјализованим ситуацијама у математици. У теорији категорија, морфизми морају испуњавати само опште аксиоме из теорије категорија, а не специфичне аксиоме који се захтевају у неком другом контексту. Дакле, тај концепт је унутрашњи у заданој категорији.

Саундерс Маклејн и Самјуел Ејленберг су увели концепте категорија, функтора и природних трансформација у 1942-45 у њиховом проучавању алгебарске топологије, са циљем аксиоматизације појма природности и још неких својстава која су се понављала у више контекста.

Категорија теорија има практичну примену у теорији програмских језика, нпр. формализације семантике програмских језика и кориштење монада у функцијском програмирању. Аксиоматски приступ структури категорије (елементарна теорија категорија) није зависан од аксиоматике скупова и може се изучавати као један од алтернативних приступа темељима математике (уз теорију скупова, разне теорије типова итд).

КатегоријеУреди

Категорија C се састоји од следећа три ентитета:

  • Класе ob(C), чије елементе зовемо објекти;
  • Класе hom(C), чије елементе зовемо морфизми или пресликавања или стрелице. Сваки морфизам f има свој домен a и кодомен b.

Израз f : ab, се чита као "f је морфизам из a у b".
Израз hom(a, b) — користе се и ознаке homC(a, b), mor(a, b), или C(a, b) — означава класу свих морфизама изa у b.

  • Бинарне операције ∘, коју називамо композиција морфизама, тако да за било која три објекта a, b, и c, важи hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c). Композицију f : ab и g : bc записујемо gf или gf, регулисана са две аксиоме:
    • Асоцијативност: Ако f : ab, g : bc и h : cd онда је h ∘ (gf) = (hg) ∘ f, и
    • Идентитет (математика): За сваки објект x, постоји морфизам 1x : xx звани идентички морфизам x, тако да за сваки морфизам f : ab, важи 1bf = f = f ∘ 1a.
Из аксиома се може доказати да постоји тачно један идентички морфизам за сваки објект. Неки аутори одступају од ове дефиниције идентификујући сваки објект са његовим идентичким морфизмом.

Односи међу морфизмима и типови морфизамаУреди

Релације између морфизама (попут fg = h) често се приказују графички помоћу комутативних дијаграма, са „тачкама” (врховима) представљајући објекте и „стрелицама” представљајући морфизме. Комутативност дијаграма означава да композиција свих морфизама уздуж било која два усмерена пута с међусобно истим почетком и међусобно истим крајем има исти резултат (не yависи од пута).

Морфизми могу имати било која од седећих својстава. Морфизам f : ab је:

  • мономорфизам (генерализирајући појам ињекције у категорији скупова) ако fg1 = fg2 повлачи g1 = g2 за све морфизме g1, g2 : xa.
  • епиморфизам (генерализирајући појам сурјекције у категорији скупова) ако g1f = g2f повлачи g1 = g2 за све морфизме g1, g2 : bx.
  • биморфизам ако је f истовремено мономорфизам и епиморфизам.
  • изоморфизам ако постоји морфизам g : ba такав да је fg = 1b and gf = 1a.
  • ендоморфизам ако је домен уједно и кодомен, a = b. end(a) означава класу ендоморфизама од a.
  • аутоморфизам ако f је изоморфизам с истом доменом и кодоменом. aut(a) означава класу ендоморфизама од a.
  • ретракција (сажимање) ако десна инверзија од f постоји, т.ј. ако постоји морфизам g : ba такав да fg = 1b.[2]
  • пререз (секција) ако лева инверзија од f постоји, т.ј. ако постоји морфизам g : ba такав да gf = 1a.

За категорију се каже да је балансирана ако је сваки биморфизам изоморфизам. На пример, све су Абелове категорије балансиране.

Свака ретракција је епиморфизам, и сваку пререз је мономорфизам. Надаље, следеће три тврдње су еквивалентне:

  • f је мономорфизам и ретракција;
  • f је епиморфизам и пререз;
  • f је изоморфизам.

Супротна категоријаУреди

Свакој категорији   може се придружити супротна категорија   која има исте објекте и морфизме, но морфизми иду у супротни смер. Тако за сваки објект   има своју супротну копију  , а за морфизам   његову супротну копију   са замењеном доменом и кодоменом; при томе је композиција дефинисана с  , а идентитет с  . Супротна категорија се назива такође двојствена или дуална категорија категорије  .

Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^ Awodey, Steve (2010) [2006]. Category Theory. Oxford Logic Guides. 49 (2nd изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0. 
  2. ^ Mac Lane (1978, p.19).

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди