Тејлорова формула

Тејлорова формула, која је добила име по математичару Бруку Тејлору, користи се за приближно израчунавање функција у околини неке одређене тачке уз помоћ Тејлорових полинома.

Апроксимација функције f(x) = 1/(1 + x²) њеним Тејлоровим полиномом P_k реда k = 1, ..., 16 centered at x = 0 (црвена боја) и x = 1 (зелена боја). Апроксимације нису задовољавајуће ван интервала (-1,1) и (1-√2,1+√2), респективно.

Тејлоров полином

Главни чланак: Тејлоров полином

Тејлоров полином за неку функцију $f(x)$ и дату тачку $a$ је дефинисан на следећи начин:

$T_{n}(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {f^{k}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\right)$

Пошто се при таквој апроксимацији функције полиномом прави некаква грешка, део за који се разликује функција и полином називамо остатком $R_{n}^{a}(x)$ полинома и он износи:

$R_{n}^{a}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt$

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку $a$ коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

$f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$

Доказ

Доказ да се свака функција може представити као збир Тејлоровог полинома и његовог остатка можемо спровести индукцијом.

База индукције:

$n=0$

$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}1\cdot f'(t)dt.$

Да Тејлорова формула важи за $n=1$ можемо доказати путем парцијалне интеграције:

$f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+\int _{a}^{x}(x-t)^{1}\,f''(t)\,dt$

Корак индукције: Узмимо онда да за неко $n-1$ важи:

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{(n-1)!}}(x-a)^{n-1}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n)}(t)}{(n-1)!}}(x-t)^{n-1}\,dt$

Доказ:

$n-1\rightarrow n$

$R_{n-1}^{a}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n)}(t)}{(n-1)!}}(x-t)^{n-1}\,dt={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n-1}f^{(n)}(t)dt$

Користимо ${\frac {d}{dt}}\left({\frac {(x-t)^{n}}{n}}\right)=-(x-t)^{n-1}$:

$R_{n-1}^{a}(x)=-{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}{\frac {d}{dt}}({\frac {(x-t)^{n}}{n}}){\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)dt$

$R_{n-1}^{a}(x)=-\int _{a}^{x}\underbrace {{\frac {d}{dt}}({\frac {(x-t)^{n}}{n!}})} _{u'}\underbrace {{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)} _{v}dt$

Парцијалном интеграцијом:

$R_{n-1}^{a}(x)=-\left[\underbrace {\frac {(x-t)^{n}}{n!}} _{u}\underbrace {{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)} _{v}\right]_{a}^{x}+\int _{a}^{x}\underbrace {\frac {(x-t)^{n}}{n!}} _{u}\underbrace {{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(t)} _{v'}dt$

$R_{n-1}^{a}(x)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}{(x-a)}^{n}+{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(t)dt$

$R_{n-1}^{a}(x)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}{(x-a)}^{n}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}dt$

$\Rightarrow f(x)=T_{n-1}(x)+R_{n-1}(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$,

што смо и хтели да докажемо.

Тејлорова формула у Лагранжовом облику

Тејлорова формула у Лагранжовом облику се добија када се на израз Тејлорове формуле

$\Rightarrow f(x)=T_{n-1}(x)+R_{n-1}(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$

примени Лагранжова теорема за средњу вредност:

$R_{n}^{a}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt=f^{(n+1)}(\xi )\int _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}dt=f^{(n+1)}(\xi ){\frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}$, где је $a<\xi <x$

Пример

Црвеном бојом је представљена функција синус, а плавом бојом Тејлоров полином првог степена за синус, што и није нарочито лоша апроксимација ако, као у примеру, посматрамо само сегмент од -0.5 до 0.5.

Израчунавање ниједне тригонометријске функције у општем случају није тривијално. Међутим, за резултате са одређеном тачношћу, Тејлорова формула даје веома добре резултате који се могу и јако брзо израчунати.

Тако, на пример, можемо израчунати приближну вредност синуса у опсегу -0.5 до 0.5. Једна од најефикаснијих могућности за израчунавање је примена Тејлоровог полинома на тачку 0.

За синус знамо да важи:

$f(x)=\sin(x),f'(x)=\cos(x),f''(x)=-\sin(x)$

Тејлоров полином првог степена стога гласи:

$n=1,a=0$

$\sin(x)\approx T_{1}(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}\cdot (x-a)=\sin(0)+\cos(0)\cdot x=x$

У посматраном интервалу, резултати апроксимације су прилично добри, јер је грешка:

$R_{1}(x)=\int _{0}^{x}(x-t)f''(t)dt=\sin(x)-x$ највећа код тачака -0.5 и 0.5 и она износи:

$R_{1}(0.5)=-0.020574$, што је са практичне тачке гледишта сасвим прихватљиво.

Граф за $R_{3}(x)$.

Тако можемо и практично да опазимо да је наша приближна вредност све гора апроксимација што се даље удаљавамо од тачке $a$.

За боље апроксимације и мање грешке, потребно је само функцију развити до виших степена и тако се све више и више приближавати траженој функцији.

Приказане су апроксимације функције $\sin(x)$ за развијање до све виших и виших редова (до првог реда - црвеном бојом, до трећег реда - зеленом бојом, ...):

Види још

• Маклоренова формула
• Тејлоров ред
• Тејлоров полином

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.