Тејлорова формула

Апроксимација функције f(x) = 1/(1 + x2) њеним Тејлоровим полиномом Pk реда k = 1, ..., 16 centered at x = 0 (црвена боја) и x = 1 (зелена боја). Апроксимације нису задовољавајуће ван интервала (-1,1) и (1-√2,1+√2), респективно.

Тејлорова формула, која је добила име по математичару Бруку Тејлору, користи се за приближно израчунавање функција у околини неке одређене тачке уз помоћ Тејлорових полинома.

Тејлоров полиномУреди

Тејлоров полином за неку функцију   и дату тачку   је дефинисан на следећи начин:

 

Пошто се при таквој апроксимацији функције полиномом прави некаква грешка, део за који се разликује функција и полином називамо остатком   полинома и он износи:

 

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку   коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

 

ДоказУреди

Доказ да се свака функција може представити као збир Тејлоровог полинома и његовог остатка можемо спровести индукцијом.

База индукције:

 
 

Да Тејлорова формула важи за   можемо доказати путем парцијалне интеграције:

 

Корак индукције: Узмимо онда да за неко   важи:

 

Доказ:

 
 

Користимо  :

 
 

Парцијалном интеграцијом:

 
 
 
 ,

што смо и хтели да докажемо.

Тејлорова формула у Лагранжовом обликуУреди

Тејлорова формула у Лагранжовом облику се добија када се на израз Тејлорове формуле

 

примени Лагранжова теорема за средњу вредност:

 , где је  

ПримерУреди

 
Црвеном бојом је представљена функција синус, а плавом бојом Тејлоров полином првог степена за синус, што и није нарочито лоша апроксимација ако, као у примеру, посматрамо само сегмент од -0.5 до 0.5.

Израчунавање ниједне тригонометријске функције у општем случају није тривијално. Међутим, за резултате са одређеном тачношћу, Тејлорова формула даје веома добре резултате који се могу и јако брзо израчунати.

Тако, на пример, можемо израчунати приближну вредност синуса у опсегу -0.5 до 0.5. Једна од најефикаснијих могућности за израчунавање је примена Тејлоровог полинома на тачку 0.

За синус знамо да важи:

 

Тејлоров полином првог степена стога гласи:

 
 

У посматраном интервалу, резултати апроксимације су прилично добри, јер је грешка:

  највећа код тачака -0.5 и 0.5 и она износи:
 , што је са практичне тачке гледишта сасвим прихватљиво.
 
Граф за  .

Тако можемо и практично да опазимо да је наша приближна вредност све гора апроксимација што се даље удаљавамо од тачке  .

За боље апроксимације и мање грешке, потребно је само функцију развити до виших степена и тако се све више и више приближавати траженој функцији.

Приказане су апроксимације функције   за развијање до све виших и виших редова (до првог реда - црвеном бојом, до трећег реда - зеленом бојом, ...):

 

Види јошУреди

ЛитератураУреди

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.