Отворите главни мени

Тејлоров полином

Како степен Тејлоровог полинома расте, он се све више приближава функцији коју апроксимира. Слика показује функцију и Тејлорове апроксимације полиномом развијеног до следећих редова степенима 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.
Експоненцијална функција (плаво), и сума првих n+1 чланова њеног Тејлоровог реда у 0 (црвено).

Тејлорови редови се користе у анализи да се представи дата функција у околини неке тачке по избору као бесконачна сума чланова који се израчунавају из вредности извода функције у тој тачци.[1][2][3] Ови редови су добили име по математичару Бруку Тејлору. Сродне тема је наравно Тејлорова формула, којом се служимо да функцију представимо као бесконачан ред.

ДефиницијаУреди

Тејлоров ред за неку сталну функцију   са бесконачно пуно извода за изабрану тачку   јесте дефинисан овако:

 
 

Тејлоровим остатком   полинома називамо део за који се разликује функција и Тејлоров полином, тј. грешку која се при таквој апроксимацији функције полиномом прави, и он износи:

 

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку   коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

 

Када функција има више аргумената, примењујемо:

 

У случају да добијемо вишедимензионалну функцију, користимо се следећом методом:

 

где је   градијент, а   Хесова матрица.

Извод нултог реда од f се дефинише као сама f и (xa)0 и 0! су по дефиницији једнаки 1. Кад је a = 0, серија се исто тако назива Маклоренов ред.[4]

КонвергентностУреди

Тејлоров ред не мора по правилу да конвергира за све  . У ствари, он конвергира само онда када остатак,  , конвергира према 0.

Када је   сама степени ред око тачке  , онда је Тејлоров ред идентичан са њим.

ПримериУреди

Маклоренов ред за било који полином је поново полином. Маклоренов ред за (1 − x)−1 је геометријски ред

 

тако да Тејлоров ред за x−1 u a = 1

 

Интеграцијом горњег Маклореновогреда проналази се Маклоренов ред за −log(1  − x), gde log означава природни логаритам:

 

а одговарајући Тејлоров ред за log(x) у a = 1 је

 

Тејлоров ред за експоненцијалну функцију   у   је

 

Горњи израз важи зато што је деривација од ex такође ex, а e0 једнако је 1. Ово оставља чланове (x − 0)n у бројиоцу, а n! остају у имениоцу за сваки члан у бесконачној суми.

Пример функције која се не да апроксимирати уз помоћ Тејлорових редоваУреди

Тејлоров ред не конвергира увек ка функцији. У следећем примеру Тејлоров ред не одговара функцији ни у једној тачки:

 

За вредности   извод горње функције је 0. То значи да за свако изабрано   добијамо Тејлоров полином који је увек нула. За случај   добијамо ред који конвергира само у интервалу  .

Тејлоров ред са радијусом конвергенције већим од нулеУреди

Многе функције можемо представити као степене редове, који су истовремено и Тејлоров ред те исте функције.

Експоненцијална функција и логаритамУреди

 
 

У пракси овај ред конвергира често преспоро, те се зато користи следећа варијанта:

 
Када изаберемо   за неко  , овај ред конвергира ка  .

Тригонометријске функцијеУреди

За   добијамо следеће редове:

 
 
 , притом је     по реду Бернулијев број.
 , где је     по реду Ојлеров број.

Списак Тејлорових редова неких уобичајних функцијаУреди

Такође погледајте: Списак математичких редова
 
Косинусна функција у комплексној равни.
 
Осми степен апроксимације косинусне функције у комплексној равни.
 
Две горње криве постављене заједно.

Следи неколико важних проширења Мацлауринових редова. Сва ова проширења важе за комплексне аргументе  .

Експоненцијална функција:

 

Природни логаритам:

 
 

Коначан геометријски ред:

 

Бесконачан геометријски ред:

 

Варијанте бесконачних геометријских редова:

 
 

Квадратни корен:

 

Биномни ред (укључујући квадратни корен за α = 1/2 и бесконачан геометријски ред за α = −1):

 

са општим биномним коефицијентима

 

Тригонометријске функције:

 
 
 
Где је B Бернулијев број.
 
 
 

Хиперболичка функција:

 
 
 
 
 

Ламбертова W функција:

 

Бројеви Bk, који се појављују у сумирању при развијању tan(x) и tanh(x) представљају Бернулијев број. Ek у развијању sec(x) је Ојлеров број.

Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^ „Neither Newton nor Leibniz – The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala” (PDF). MAT 314. Canisius College. Архивирано (PDF) из оригинала на датум 23. 02. 2015. Приступљено 9. 07. 2006. 
  2. ^ S. G. Dani (2012). „Ancient Indian Mathematics – A Conspectus”. Resonance. 17 (3): 236—246. doi:10.1007/s12045-012-0022-y. 
  3. ^ Ranjan Roy, The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha, Mathematics Magazine Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 291-306.
  4. ^ Thomas & Finney 1996, §8.9

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди