Топологија

За друге употребе, погледајте Топологија (вишезначна одредница).

Топологија (од грчког τόπoς „место“ и λόgoς „наука, знање, реч“) је грана математике која проучава глобалне (геометријске) структуре и тополошке просторе. Топологија је једна од најмлађих грана математике, која је надовезујући се на математичку анализу и теорију скупова, својим динамичним развојем током 20. века довела до решења неколико значајних класичних математичких проблема.

Мебијусова трака је један од објеката који се проучавају у топологији. Она је објекат који нема одвојену унутрашњу и спољашњу страну, већ има само једну страну и једну ивицу. Модел Мебијусове траке се лако може направити тако што се узме папирна трака, и заротира се по дужини за 180°, а затим се крајеви траке залепе.

Основни објекат у топологији је тополошки простор, који се дефинише као уређени пар (X, $\tau$) неког скупа X и подскупа његовог партитивног скупа у ознаци $\tau$.

Подела

Топологија се дели на:

1. општу топологију, која се бави самим тополошким просторима
2. алгебарску топологију, у којој се проучавају тополошке инваријанте, односно особине тополошких простора које се не мењају при непрекидним пресликавањима. У оквиру алгебарске топологије се налазе још и

• геометријска топологија, која проучава многострукости и
• диференцијална топологија, која проучава диференцијална пресликавања.

Историја

Кенигзбершки мостови, чувени тополошки проблем.

Грана математике која се данас назива топологијом је настала изучавањем одређених геометријских питања. Ојлеров рад из 1736. о Кенигзбершким мостовима спада међу прве тополошке резултате.

Израз топологија је у немачки језик увео Јохан Бенедикт Листинг 1847, у раду Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, pp. 67, 1848. Међутим, Листинг је већ десет година користио овај израз у препискама.

Модерна топологија се у великој мери заснива на теорији скупова, коју је развио Георг Кантор крајем деветнаестог века. Кантор је, осим што је поставио основне идеје теорије скупова, такође разматрао скупове тачака у Еуклидском простору, у склопу проучавања Фуријеових редова.

Анри Поенкаре је 1895. године објавио књигу Analysis Situs, у којој је увео концепте хомотопије и хомологије, који се данас сматрају делом алгебарске топологије.

Морис Фреше је, обједињујући рад Кантора, Волтере, Арцеле, Адамара, Асколија и других, 1906. увео метрички простор. Метрички простор се данас сматра посебним случајем општег тополошког простора. 1914, Феликс Хаусдорф је сковао израз тополошки простор и дао дефиницију за оно шта се данас назива Хаусдорфовим простором. У данашњем значењу, тополошки простор је благо уопштавање Хаусдорфових простора, које је 1922. дао Казимир Куратовски.

Тополошки простор и топологија

Главни чланак: Тополошки простор

Тополошки простор је уређени пар скупа X и колекцијом подскупова од X (подскуп партитивног скупа X) у ознаци $\tau$, који задовољавају следеће особине:

1. празан скуп и X налазе се у $\tau$.
2. унија свих колекција скупова из $\tau$ је такође скуп у $\tau$.
3. пресек сваке коначне колекције скупова из $\tau$ је такође у $\tau$.

Колекција $\tau$ се назива топологијом над X. Елементи скупа X се обично називају тачкама, мада могу бити произвољни математички објекти. Тополошки простор у коме су тачке представљене неким функцијама, назива се функционални или функцијски простор.

Хомотопија

Главни чланак: Хомотопија

Шоља и крофна (торус) су у топологији међусобно еквивалентне структуре. На слици је приказана континуална деформација (хомотопија) између њих.

Хомотопија H две непрекидне функције f и g које сликају тополошки простор X у тополошки простор Y је непрекидна трансформација H : X × [0,1] → Y тако да је за све тачке x из X, важи H(x,0)=f(x) и H(x,1)=g(x).

Види још

• Тополошки простор
• Хомотопија

Литература

• Spanier, Edwin (1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 978-0-387-94426-5. 
• Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], „Chapter XVIII Topology”, Ур.: Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A., Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd изд.), The M.I.T. Press 
• Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2 
• Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press 
• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics. 1989. ISBN 978-3-88538-006-1..
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
• Breitenberger, E. (2006). „Johann Benedict Listing”. Ур.: James, I.M. History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5. 
• Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1. 
• Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4.  (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
• Wacław Sierpiński, General Topology. Dover Publications.2000. ISBN 978-0-486-41148-4.
• Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1.  (Provides a popular introduction to topology and geometry)
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd изд.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1 

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Topology, general”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
• Топологија на сајту DMOZ (језик: енглески)
• The Topological Zoo at The Geometry Center.
• Topology Atlas
• Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
• Topology Glossary
• Moscow 1935: Topology moving towards America, a historical essay by Hassler Whitney.