Тригонометријска једначина

Тригонометријска једначина је једначина код које се непозната јавља као аргумент тригонометријске функције.

Решити тригонометријску једначину значи одредити све вредности непознате за које је дата једначина задовољена.

Једначина sin x = aУреди

Ова једначина има решења тада и само тада ако је -1 ≤ a ≤ +1 и онда постоји јединствени угао α у интервалу -½π ≤ α ≤ +½π чији је синус једнак а, па имамо једначину sin x = sin α која има два бесконачна скупа решења:

  • xp = α + 2pπ
  • xm = (π - α) + 2mπ, где су p, m = 0, ±1, ±2,...

Лако се уочава да се ове две формуле могу сјединити у једну

  • xn = (-1)ⁿα + aπ, где је n = 0, ±1, ±2,...

Дакле, решења једначине могу се дати трећом формулом уместо прве две формуле.

Једначина cos x = aУреди

Ова једначина има решења тада и само тада ако је -1 ≤ a ≤ +1 и онда постоји јединствен угао α у интервалу -½π ≤ α ≤ +½π чији је косинус једнак а, па имамо једначину cos x = cos α која има два скупа решења:

  • xp = α + 2pπ
  • xm = (π - α) + 2mπ, где су p, m = 0, ±1, ±2,...

Ове две формуле се могу сјединити у једну

  • xn = ±α + 2nπ, где је n = 0, ±1, ±2,...

Једначина tan x = aУреди

Ова једначина има решења за свако а, и постоји јединствен угао α у интервалу -½π ≤ α ≤ +½π чији је тангенс једнак броју а, па имамо једначину tan x = tan α која има један скуп решења:

  • xn = α + 2nπ, где је n = 0, ±1, ±2,...

Једначина ctg x = aУреди

Ова једначина има решења за свако а, и постоји јединствен угао α ≠ 0 у интервалу -½π ≤ α ≤ +½π чији је котангенс једнак броју а, па имамо једначину ctg x = ctg α одакле имамо:

  • xn = α + 2nπ, где је n = 0, ±1, ±2,...