Троструки нумерички систем

Троструки нумерички систем (који се и назива база 3) има три као своју базу. Аналогно биту, тернарна цифра је тројка (три цифре). Један тројка је еквивалентна log₂3 (око 1.58496) битова информације.

Иако је тројни најчешће се односи на систем у којем су три цифре 0, 1, и 2 сви не-негативни бројеви, придев такође даје име у систему балансиране тројке, који се користи у односу логике и троструких рачунара.

Поређење са другим расама уреди

Табела множења тројки
*	1	2	10	11	12	20	21	22	100
1	1	2	10	11	12	20	21	22	100
2	2	11	20	22	101	110	112	121	200
10	10	20	100	110	120	200	210	220	1000
11	11	22	110	121	202	220	1001	1012	1100
12	12	101	120	202	221	1010	1022	1111	1200
20	20	110	200	220	1010	1100	1120	1210	2000
21	21	112	210	1001	1022	1120	1211	2002	2100
22	22	121	220	1012	1111	1210	2002	2101	2200
100	100	200	1000	1100	1200	2000	2100	2200	10000

Репрезентације целих бројева у тројкама се не добијају тако брзо као у бинарним. На пример, децимално 365 одговара бинарном 101101101 (9 цифара) а тројном 111112 (6 цифара). Међутим, они су и даље далеко мање компактне у односу на одговарајуће представништво у базама као што су децимални- види доле компактан начин за кодирање тројки користећи деветку и двадесетседмицу.

**Бројеви 1 до 27 у стандардним тројкама**
Тројка	1	2	10	11	12	20	21	22	100
Бинарни	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001
Децимални	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Тројка	101	102	110	111	112	120	121	122	200
Бинарни	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	10001	10010
Децимални	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Тројка	201	202	210	211	212	220	221	222	1000
Бинарни	10011	10100	10101	10110	10111	11000	11001	11010	11011
Децимални	19	20	21	22	23	24	25	26	27

**Степени тројке у тројкама**
Тројка	1	10	100	1 000	10 000
Бинарни	1	11	1001	1 1011	101 0001
Децимални	1	3	9	27	81
Степен	3⁰	3¹	3²	3³	3⁴
Тројка	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000
Бинарни	1111 0011	10 1101 1001	1000 1000 1011	1 1001 1010 0001	100 1100 1110 0011
Децимални	243	729	2 187	6 561	19 683
Степен	3⁵	3⁶	3⁷	3⁸	3⁹

Као и код рационалних бројева, тројке нуди погодан начин да представљају једну трећину (за разлику од свог гломазног представљања као бескрајног низа понављања бројке у децималама); али велики недостатак је то, заузврат, тројке не нуди коначан приказ за једну половину (ни за једну четвртину, једну петину, једну осмину, једну десетину, итд), јер 2 није примарни фактор базе.

Разломци у тројкама
Разломак	1/2	1/3	1/4	1/5	1/6	1/7	1/8	1/9	1/10	1/11	1/12	1/13
Тројка	0.1	0.1	0.02	0.0121	0.01	0.010212	0.01	0.01	0.0022	0.00211	0.002	0.002
Бинарни	0.1	0.01	0.01	0.0011	0.001	0.001	0.001	0.000111	0.00011	0.0001011101	0.0001	0.000100111011
Децимал	0.5	0.3	0.25	0.2	0.16	0.142857	0.125	0.1	0.1	0.09	0.083	0.076923

Сума цифара у тројкама супротна од бинарних уреди

Вредност бинарног броја са n битова где су сви 1 је 2ⁿ − 1.

Слично, за број N(b,d) са базом b и d цифрама, где су све цифре максималне вредности b − 1, можемо написати

N(b,d) = (b − 1) b^d−1 + (b − 1) b^d−2 + … + (b − 1) b¹ + (b − 1) b⁰,

N(b,d) = (b − 1) (b^d−1 + b^d−2 + … + b¹ + 1),

N(b,d) = (b − 1) M.

bM = b^d + b^d−1 + … + b² + b¹, и

−M = −b^d−1 − b^d−2 − … − b¹ − 1, па

bM − M = b^d − 1, or

M = (b^d − 1)/(b − 1).

Онда, N(b,d) = (b − 1)M,

N(b,d) = (b − 1) (b^d − 1)/(b − 1), и

N(b,d) = b^d − 1. За 3-цифрени тројни број, N(3,3) = 3³ − 1 = 26 = 2 × 3² + 2 × 3¹ + 2 × 3⁰ = 18 + 6 + 2.

Компактна представа тројке: база 9 и 27 уреди

Деветке (база 9, свака цифра је две троструке цифре) или (база 27, свака цифра је три троструке цифре) могу да се користе за компактне репрезентације тројног, као и окталног и хексадецималног система уместо бинарног.

Практична употреба уреди

База-три систем се користи у исламу због задржавања бројања Ташиба до 99 или 100 на једној руци за бројање молитве (као алтернатива за Мибаха).

У одређеној аналогној логици, стање кола се често изражава тројком. То се најчешће види у транзистору-транзистор логици користећи 7406 отворену колекторску логику. Излаз је или низак (основан), висок, или отворен (високо-з). У овој конфигурацији излаз круга заправо није уопште повезан на било који референтни напон. Где је сигнал обично утемељен на одређеној референци, или на одређеном напонском нивоу, стања кажу да је висока импеданса јер је отворен и служи своју референцу. Тако, стварни ниво напона је понекад непредвидив.

Ретка "тројна тачка" се користи да означи разломљене делове на измени у бејзболу. Јер свака измена се састоји од три излаза, сваки се сматра трећином од једне измене и означен је као .1. На пример, ако играч коси свих 4., 5. и 6. измена, плус 2 излаза у 7. кругу, његова измена баца колону јер би тад игра била наведена као 3.2, што значи 3⅔. У тој употреби, само разломак броја написан је у облику троструког.

Тројни бројеви се могу користити за преношење само-сличних структура као што су Сиерпински троугао или Канторов скуп. Осим тога, испоставило се да је тројна репрезентација корисна за дефинисање Канторовог скупа и сродних тачака комплета, због начина на који је Канторов скуп конструисан. Канторов скуп се састоји од тачака од 0 до 1 које имају троструки израз који не садржи неку инстанцу цифре 1.^[1]^[2] Сваки престанак експанзија у тројном систему је еквивалентан изразу који је идентичан до термина који је претходио последњи не нула рок праћен ознаком једне мање него прошле нуле мандата првог израза, затим бесконачном репу од два. На пример.1020 је еквивалентно .1012222. .. јер експанзије су исте до "два" на првом изразу, два је умањен у другој експанзији, а завршне нуле су замењене иза две у другом изразу.

Тројка је основа целог броја са највећом радикс економијом, затим следи бинарни и четворка. Користи се за поједине рачунарске системе због те ефикасности. Такође се користи за представљање 3 дрвета опције као што је мени телефонског система, који омогућавају једноставан пут ка било којој експозитури.

Облик вишка бинарне представе под називом балансирана тројка или означена цифра представе се понекад користи у софтверу ниског нивоа и хардвера за постизање брзог додавања целих бројева, јер могу елиминисати пренос^[3]

Трите уреди

Неки троструки рачунари, као што је Сетун дефинишу трите да буду 6 тритова или исто као ~ 9.5 битова (који има више информација него де факто бинарног бајта).^[4]

Види још уреди

Референце уреди

^ Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.
^ Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2. стр. 9–12, 2006.
^ Dhananjay Phatak, I. Koren, Hybrid Signed-Digit Number Systems: A Unified Framework for Redundant Number Representations with Bounded Carry Propagation Chains, 1994, [1]
^ Brousentsov, N. P.; Maslov, S. P.; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, E.A. „Development of ternary computers at Moscow State University”. Приступљено 20. 1. 2010.

Литература уреди

Hayes, Brian (2001). „Third base”. American Scientist. 89 (6): 490—494. doi:10.1511/2001.40.3268. Архивирано из оригинала 24. 03. 2016. г. Приступљено 16. 02. 2016. .

Спољашње везе уреди

Third Base
Ternary Arithmetic Архивирано на сајту Wayback Machine (14. мај 2011)
The ternary calculating machine of Thomas Fowler
Ternary Base Conversion includes fractional part, from Maths Is Fun
Gideon Frieder's replacement ternary numeral system
Visualization of numeral systems

[1] Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.

[2] Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2. стр. 9–12, 2006.

[3] Dhananjay Phatak, I. Koren, Hybrid Signed-Digit Number Systems: A Unified Framework for Redundant Number Representations with Bounded Carry Propagation Chains, 1994, [1]

[4] Brousentsov, N. P.; Maslov, S. P.; Ramil Alvarez, J.; Zhogolev, E.A. „Development of ternary computers at Moscow State University”. Приступљено 20. 1. 2010.

[1]

[2]

[3]

[4]