Успонска функција

Успонска функција (или рампа функција) је унарна функција над пољем реалних бројева. Дефинише се као просек улазне променљиве и њене апсолутне вредности.

График успонске функције

Ова функција се доста користи у инжењерству (нпр. у теорији обраде сигнала). Име је добила због изгледа њеног графика.

Дефиниције

Успонска функција ($R(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$) се аналитички може дефинисати на више начина. Неке од дефиниција су:

• Преко система једначина:

  $R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}$

• Преко функције максимума:

  $R(x):=\operatorname {max} (x,0)$

• Као просек улазне променљиве и њене апсолутне вредности:

  $R(x):={\frac {x+|x|}{2}}$

до чега се може доћи и гледајући дефиницију функције $\operatorname {max} (a,b)$,

$\operatorname {max} (a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}$

за $a=x$ и $b=0$

• Множењем улазне променљиве са :

  $R\left(x\right):=xH\left(x\right)$

• Конволуцијом Хевисајдове функције са самом собом:

  $R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)$

• Интеграцијом Хевисајдове функције:

  $R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,\mathrm {d} \xi$

Аналитичка својства

Ненегативност

Успонска функција је ненегативна на целом њеном домену, па јој је апсолутна вредност једнака самој себи.

$\forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geqslant 0$

и

$\left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right)$

Извод

Извод успонске функције је Хевисајдова функција:

$R'(x)=H(x)$ за $x\neq 0$

Други извод

Успонска функција $R(x)$ задовољава следећу диференцијалну једначину:

${\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0}),$

где је $\delta (x)$ Диракова делта функција. Ово значи да је успонска функција $R(x)$ заправо Гринова функција за оператор другог извода. То значи да свака непрекидна функција $f(x)$, са другим изводом $f''(x)$, задовољава једначину:

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-x_{0})f''(x_{0})\operatorname {d} x_{0},$

за $a<x<b$.

Фуријеова трансформација

${\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)$ $=$ $\int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx$ $=$ ${\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},$

где је $\delta (x)$ Диракова делта функција (у једначини изнад се појављује њен извод).

Лапласова трансформација

Једнострана Лапласова трансформација успонске функције $R(x)$ је дата као:

${\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.$

Види још

• Хевисајдова функција
• Диракова делта функција

Спољашње везе

• Чланак о успонској функцији на сајту Mathworld (језик: енглески)