Функција индикатор
У математици, функција индикатор или карактеристична функција је функција дефинисана на скупу , која означава припадност елемента подскупу од .
Индикатор функција подскупа скупа је функција
дефинисана као
Ајверсонове заграде дозвољавају следећу нотацију: .
Напомене о нотацији и терминологији
уреди- Нотација може да означава функцију идентитета.
- Нотација може да означава карактерисичну функцију у конвексној анализи.
Израз карактеристична функција има другачије (неповезано) значење у теорији вероватноће. Због овога се у теорији вероватноће за овај појам готово увек користи израз функција индикатор, док математичари у другим областима чешће користе израз карактеристична функција за описивање функције која означава припадност скупу.
Основна својства
уредиПресликавање које повезује подскуп скупа са својом функцијом индикатором је инјективно.
У следећим формулама, тачка представља множење, 1·1 = 1, 1·0 = 0 итд. "+" и "−" представљају сабирање и одузимање. " " и " " су пресек и унија.
Ако су и два подскупа од , онда
а комплемент функције индикатора за A, тј. AC је:
Општије, претпоставимо да је колекција подскупова од . За свако ,
је јасно производ нула и јединица. Овај производ има вредност тачно за оне који не припадају ни једном од скупова , а има вредност иначе. То јест
Ако распишемо производ са елве стране, добијамо,
где је кардиналност од . Ово је један облик принципа укључења-искључења.
Као што се види у претходном примеру, функција индикатор је корисна као средство нотације у комбинаторици. Ова нотација се користи и у другим областима, на пример у теорији вероватноће: ако је простор вероватноће са мером вероватноће и је мерљиви скуп, онда постаје случајна променљива чија је очекивана вредност једнака вероватноћи
Овај идентитет је једноставан доказ Марковљеве неједнакости.
Литература
уреди- Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
- Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94-99.
- Martin Davis ed. (1965), The Undecidable, Raven Press Books, Ltd., New York.
- Stephen Kleene, (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.
- George Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey (2002), Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 0-521-00758-5.
- Lotfi A. Zadeh, 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [1]
- Joseph Goguen, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174