Чебишевљева неједнакост сума

Чебишевљева неједнакост сума носи назив према руском математичару Пафнути Чебишеву. Ако имамо два опадајућа низа:

Пафнути Лавович Чебишев

и

онда вреди Чебишевљева неједнакост

Исто тако ако је један низ растући, а други опадајући:

и

онда вреди

ДоказУреди

Пођимо од суме

 

Ако су два низа опадајућа (односно нису растућа) онда aj − ak и bj − bk имају исти предзнак за било који jk. Збога тога следи да је S ≥ 0. Из горње једначине и S ≥ 0 добијамо:

 

Сабирајући исте чланове добијамо:

 

Коначно следи:

 

Генерализација неједнакостиУреди

Постоји генерализирана верзија Чебишевљеве неједнакости у случају континуиранога низа у виду функције. Ако су f и g реалне интеграбилне функције на интервалу [0, 1] и ако су обе растуће или обе падајуће онда следи:

 

ЛитератураУреди

  • Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9