Отворите главни мени
Primer podudarnosti. Dva trougla levo su podudarna, dok je treći sličan njima.[1][2] Zadnji trougao nije ni sličan ni podudaran sa ostalima. Podudarnost dozvoljava izmene nekih svojstava, kao što su lokacija i orjentacija, ali ostavlja ostale nepromenjenim, kao što su rastojanje i uglovi. Nepromenjena svojstva se nazivaju invarijantama.
Ovaj dijagram ilustruje geometrijski princip „ugao-ugao-strana” podudarnosti: Ako su dati trouglovi ABC i A'B'C', trougao ABC je podudaran sa trouglom A'B'C' ako i samo ako je ugao CAB podudaran sa C'A'B' i ugao ABC je podudaran sa A'B'C', i BC je podudarno sa B'C'

U geometriji dve figure su podudarne ako imaju istu veličinu i oblik, ili ako jedna ima isti oblik i veličinu kao slika u ogledalu druge.[3] Dva skupa tačaka su podudarna ako postoji preslikavanje kojim se taj skup preslikava u drugi skup, a da se pri tom ne menja veličina i oblik.

Podudarnost se označava sa

Podudaran ima značenje:[4]

  1. Dve duži su podudarne ako imaju istu dužinu tj
  2. Dva ugla su podudarna ako imaju istu meru tj
  3. Dva kruga su podudarna ako imaju isti prečnik tj

Aksiomi podudarnostiУреди

Aksiomi podudarnosti opisuju osnovne karakteristike relacije podudarnosti parova tačaka. Ovu relacija se uvodi kao polazni pojam.

  • Aksiom 1

Ako je   i  , tada je i  .

  • Aksiom 2

Za svake dve tačke   i   je  .

  • Aksiom 3

Ako je   i   tada je  

  • Aksiom 4

Ako su C i C' tačke otvorenih duži AB i A'B', takve da je   i  , tada je i  

  • Aksiom 5

Ako su A i B dve tačke i CX poluprava tada na toj polupravoj postoji tačka D takva da je  

  • Aksiom 6

Ako su A, B, C tri nekolinearne tačke i   tačke ruba neke poluravni  , takve da je   tada u toj poluravni postoji jedinstvena tačka C' takva da je   i  

  • Aksiom 7

Ako su A, B, C i A', B', C' dve trojke nekolinearnih tačaka i D i D' tačke polupravih BC i B'C' takve da je   ,  ,   i  , tada je i  

Relacija podudarnosti parova tačaka je relacija ekvivalencije.

  1.   relacija je refleksivna.
  2. Neka je   [ ] =>   relacija je simetrična
  3.   i     [sledi na osnovu simetričnosti]
Teorema 1

Ako su A i B dve tačke i CX poluprava tada na toj polupravoj postoji jedinstvena tačka D takva da je ' 

Teorema 2

Ako su A,B,C tri razne tačke prave p i A',B' dve tačke prave p' takve da je  , tada postoji jedinstvena tačka C' takva da je A',B' i  .

Pri tome, tačka C' pripada pravoj p' i:

  1. ako je  , tada je  
  2. ako je  , tada je  
  3. ako je  , tada je  
Definicija 1

Kaže se da je uređena n-torka tačaka   podudarna sa n-torkom   u oznaci  

ako je za svako  

Definicija 2

Neka su A i B dve razne tačke neke ravni  . Skup svih tačaka   te ravni takvih da je  , naziva se krug, u oznaci  , sa centrom A i čiji je poluprečnik duž AB.

Podudarnost dužiУреди

Ako su dve duži AB i CD su podudarne, to može se označiti sa  

Teorema 3

 ,

Definicija 3

Tačka S je središte duži  , ako pripada toj duži i važi  

Teorema 4

Za svaku duž postoji jedinstveno središte.

Definicija 4

Duž AB je manja od duži CD u oznaci AB < CD ako unutar duži CD postoji tačka E takva da je AB ≅ CE. Takođe u tom slučaju se kaže i da je duž CD veća od duži AB u oznaci CD > AB.

Definicija 5

Duž EF jednaka je zbiru duži AB i CD u oznaci EF = AB + CD, ako unutar duži EF postoji tačka G takva da je AB≅EG CD ≅GF.

Na isti način definišu se razlika, proizvod duži i prirodnog broja, proizvod duži iracionalnog broja

Podudarnost uglova, pravi uglovi, relacija normalnosti pravihУреди

Dva konveksna ili konkavna ugla   i   su podudarna ako i samo ako na kracima   i    ,   redom postoje tačke   takve da je:  ).

Teorema 5
  • Unakrsni uglovi su međusobno podudarni.
  • Za svaki ∠pq i svaku polupravu p' neke ravni, postoji u poluravni određenoj pravom koja sadrži p', jedinstvena poluprava q' takva da ∠pq ≅ ∠p'q'.
Teorema 6

Svaki ugao ima jedinstvenu bisektrisu

Definicija 5

Ugao AOB je manji od ugla CSD u oznaci   ako unutar ugla CSD postoji poluprava SE takva da je  . U tom slučaju kažemo ia je ugao CSD veći od ugla AOB u oznaci  .

Definicija 6

Uglom dve mimoilazne prave p i q u prostoru   naziva se ugao koji određuju njima paralelene prave a i b koje se seku u nekoj tački O. Specijalno, ako je ugao dve mimoilazne prave u prostoru   prav, tada se kaže da su prave   i   normalne među sobom, i simbolički označavamo sa  

Teorema 7
  1. Ugao podudaran nekom pravom uglu takođe je prav.
  2. Pravi uglovi su među sobom podudarni.
  3. Postoji jedna i samo jedna prava koja seče svaku od dve mimoilazne prave a i b pod pravim uglom.

Podudarnost poligonaУреди

 
Iako sva tri poligona imaju isti obim i površinu podudarni su samo narandžasti i zelani

Dva podudarna poligona imaju isti broj stranica i vrhova.[5]

Dva poligoni sa n strana su podudarna, ako i samo ako svaki od njih ima odgovarajuće stranice i uglove jednake.

Podudarnost nekih pravilnih četvorouglovaУреди

  1. Dva paralelograma su podudarna ako su im podudarne dve susedne ivice i jedan ugao.
  2. Dva pravougaonika su podudarna ako su im podudarne dve susedne ivice.
  3. Dva romba su podudarna ako su im podudarne jedna ivica i jedan ugao
  4. Dva kvadrata su podudarna ako su im podudarne stranice.

Podudarnost trouglovaУреди

 
Podudarnost trouglova

Dva trougla su podudarna ako su njihove odgovarajuće stranice jednake dužine, odgovarajući uglovi jednake veličine. Da su dva trougla ABC i DEF podudarni zapisuje se

 

Određivanje podudarnostostiУреди

  • SUS

Dva trougla su podudarna ako su dve ivice i njima zahvaćeni ugao jednog trougla podudarni sa odgovarajućim ivicama i uglovima drugog trougla, tj:  

  • SSS

Dva trougla su podudarna ako su im odgovarajuće ivice podudarne, tj.  

Dokaz:

Neka su ABC, A'B'C' dva trougla takva da je  . Tada su i odgovarajući parovi tačaka podudarni tj.  

Postoji izometrija te ravni, koja tačke A,B,C preslikava redom u tačke A', B', C'. Izometrije čuvaju raspored, pa se odgovarajuće ivice jednog trougla preslikavaju u odgovarajuće ivice drugog trougla. Izometrija preslikava trougao ABC u trougao A'B'C', pa je  

  • USU

Dva trougla su podudarna ako su jedna ivica i na njoj nalegli uglovi jednog trougla podudarni sa odgovarajućom ivicom i odgovarajućim uglovima drugog trougla, tj:  

  • SSU

Dva trougla su podudarna ako su dve ivice i ugao naspram jedne od njih jednog trougla podudarni sa odgovarajućim stranicama i odgovarajućim uglom drugog trougla.[6]

ReferenceУреди

  1. ^ Venema 2006, p. 122
  2. ^ Henderson & Taimiṇa 2005, p. 123
  3. ^ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures” (PDF). Addison-Wesley. стр. 167. Архивирано из оригинала на датум 29. 10. 2013. Приступљено 02. 06. 2017. 
  4. ^ „Congruence”. Math Open Reference. 2009. Приступљено 02. 06. 2017. 
  5. ^ Congruent Polygons
  6. ^ SSS

LiteraturaУреди

Spoljašnje vezeУреди