Одређени интеграл

Одређени (или Риманов) интеграл је проистекао из проблема површине који датира још из античке Грчке. Проблем квадратуре параболе је поставио Архимед, и то решење се сматра једним од првих значајних резултата математичке анализе. Увођење одређеног и неодређеног интеграла у математику није било везано једно за друго, те се и њихово дефинисање разликује. Одређени интеграл се дефинише као површина између функције и апсцисе, а неодређени интеграл као обрнути проблем налажења извода. Тек се касније испоставило, постављањем Њутн-Лајбницове формуле, да између одређеног и неодређеног интеграла постоји велика релација.

Дефиниција

Функција $f$ је дефинисана на одсечку $\left[a,b\right]$. Дефинишимо поделу $\Pi$ као уређену $\left(n+1\right)$ -торку бројева $\left(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\right)$ такву да је $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<x_{3}<...<x_{n}=b$, и у оквиру ње изберимо бројеве $\xi =\left(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n}\right)$, тако да важи $\xi _{i}\in \left[x_{i-1},x_{i}\right]$. Означимо са $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ разлику између 2 члана поделе. Тада је скуп $\left\{\Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n}\right\rbrace$ коначан скуп реалних бројева, па он има свој највећи елемент. Означимо тај елемент са $\delta$.

Реалним бројем $I$ називамо одређени интеграл функције $f$ на интервалу $\left[a,b\right]$, ако за свако $\epsilon$ постоји $\delta$, такво да је за сваку поделу $\Pi$ за коју важи да је њен параметер мањи од $\delta$, тј. $d\left(\Pi \right)<\delta$, испуњено:

$\left|\sum _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i}\right)\Delta x_{i}-I\right\vert <\epsilon$

То се другачије може записати као:

$I=\lim _{d\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i}\right)\Delta x_{i}'=\int _{a}^{b}f\left(x\right)dx,$

где је $\int _{a}^{b}$ запис за суму од $a$ до $b$ када $\delta$ тежи нули (тиме и $n$ тежи бесконачности), а $\Delta x_{i}$ је замењено диференцијалом, пошто је диференцијал у некој тачки заправо прираштај по $x$-оси у тој тачки, што је и смисао $\Delta x_{i}$ када $\delta$ тежи нули.

Ако постоји одређени интеграл функције $f$ на интервалу $\left[a,b\right]$, кажемо да је функција $f$ интеграбилна на $\left[a,b\right]$.

Види још

• Неодређени интеграл
• Дарбуове суме

Литература

• Зоран Каделбург, Владимир Мићић, Срђан Огњановић: “Анализа са Алгебром, уџбеник за 4. разред Математичке гимназије”
• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: "Математичка анализа 1", Студентски трг, Београд, 1995.
• Apostol Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-00005-1. 
• Nicolas, Bourbaki (2004). Integration I. Springer Verlag. ISBN 978-3-540-41129-1. . In particular chapters III and IV.
• Burton David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6th изд.). McGraw-Hill. стр. 359. ISBN 978-0-07-305189-5. 
• Florian, Cajori (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing Company. стр. 247—252. ISBN 978-0-486-67766-8. 
• Germund, Dahlquist; Åke, Björck (2008). „Chapter 5: Numerical Integration”. Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. Архивирано из оригинала 15. 06. 2007. г. Приступљено 14. 02. 2012. 
• Folland Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-80958-6. 
• Fourier Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur. Chez Firmin Didot, père et fils. стр. §231. 
  Available in translation as Joseph, Fourier (1878). The analytical theory of heat. Freeman, Alexander (trans.). Cambridge University Press. стр. 200—201. 
• Heath T. L., ур. (2002). The Works of Archimedes. Dover Publications. ISBN 978-0-486-42084-4. 
  (Originally published by Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
• Hildebrandt T. H. (1953). Integration in abstract spaces. Bulletin of the American Mathematical Society. 59. стр. 111—139. ISSN 0273-0979. 
• David, Kahaner; Cleve, Moler; Stephen, Nash (1989). „Chapter 5: Numerical Quadrature”. Numerical Methods and Software. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-627258-8. 
• Wilhelm, Leibniz Gottfried (1899). Immanuel, Karl, ур. Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Berlin: Mayer & Müller. 
• Jeff, Miller. Earliest Uses of Symbols of Calculus. Приступљено 22. 11. 2009. 
• O’Connor J. J., Robertson E. F. (1996). A history of the calculus. Приступљено 9. 7. 2007. 
• Walter, Rudin (1987). „Chapter 1: Abstract Integration”. Real and Complex Analysis (International изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100276-9. 
• Stanisław, Saks (1964). Theory of the integral (English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised изд.). New York: Dover. 
• Josef, Stoer; Roland, Bulirsch (2002). „Chapter 3: Topics in Integration”. Introduction to Numerical Analysis (3rd изд.). Springer Science Business Media. ISBN 978-0-387-95452-3. .
• W3C (2006). Arabic mathematical notation. 
• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
• Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
• Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
• Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
• Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
• Kowalk, W.P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
• Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
• Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute
• P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques

Спољашње везе

• Риманова сума
• Увод у одређене интеграле