Фибоначијев низ

Фибоначијев низ је математички низ примећен у многим физичким, хемијским и биолошким појавама. Име је добио по италијанском математичару Фибоначију. Представља низ бројева у коме збир претходна два броја у низу дају вредност наредног члана низа. Индексирање чланова овог низа почиње од нуле а прва два члана су му 0 и 1.

Поплочавање квадратима чије су странице по дужини сукцесивни Фибоначијеви бројеви

$F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{ако је }}n=0;\\1&{\mbox{ако је }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{ако је }}n>1.\\\end{cases}}$

То јест, након две почетне вредности, сваки следећи број је збир два претходника. Први Фибоначијеви бројеви (секвенца A000045 у OEIS), такође означени као F_n, за n = 0, 1, … , су:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514299, 832040...

Понекад се за овај низ сматра да почиње на F₁ = 1, али уобичајеније је укључити F₀ = 0. У неким старијим књигама, вредност $F_{0}=0$ је изостављена, тако да секвенца почиње са $F_{1}=F_{2}=1,$ и понављање је $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ валидно за n > 2.

Фибоначијеви бројеви су именовани по Леонарду од Писе, познатом као Фибоначи, иако су раније описани у Индији.

Ако су познати Фибоначијеви бројеви $F_{m}$ и $F_{n}$ онда се може наћи број $F_{m+n}$ по формули

$F_{m+n}=F_{(m-1)}F_{n}+F_{m}F_{n+1}$

Такође важи

$F_{2n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})$

$F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}+F_{n-1}^{3}$

Уопштено

$F_{mn}=\textstyle \sum _{k=1}^{m}{{\binom {m}{k}}(F_{n}^{k}(F_{n-1}^{m-k}}$

Фибоначијева спирала: апроксимација златне спирале створене цртањем кружних лукова који повезују супротне углове квадрата у Фибоначијевим плочицама; (погледајте претходну слику)

Фибоначијеви бројеви су у снажној вези са златним пресеком: Бинетова формула изражава n-ти Фибоначијев број у смислу n и златног пресека, и подразумева да однос два узастопна Фибоначијева броја тежи златном пресеку како се n повећава.

Фибоначијеви бројеви су добили име по италијанском математичару Леонарду из Пизе, касније познатом као Леонардо Фибоначи. У својој књизи Liber Abaci из 1202. године, Фибоначи је представио овај низ западноевропској математици, иако је тај низ био описан раније у индијској математици, већ 200. године пре нове ере у раду аутора Пингала о набрајању могућих образаца санскртске поезије насталих од слогова две дужине.

Бинетова формула

Бинетова формула је експлицитно изражавање вредности $F_{n}$ као функције од $n$

$F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},$

где је $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ златни пресек. У том случају $\varphi$ и $(-\varphi )^{-1}=1-\varphi$ су решења једначине $x^{2}-x-1=0$.

Из Бинетове формуле за све $n\geqslant 0$, следи да је $F_{n}$ за ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ најближе целом броју тј. $F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil$

За $n\to \infty$ је $F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$.

Формула се може аналитички приказати на следећи начин

$F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}}\right).$

при томе $F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}$ вреди за сваки комплексни број

Однос према златном односу

У теорији бројева велику улогу игра број $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ који је корен једначине $x^{2}-x-1=0$ i

$x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}=0$

Из Бинетове формуле

${\frac {1}{\sqrt {5}}}(\phi ^{n}-(-\phi )^{-n})={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}$

Где је

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\cdots$

$\varphi ^{-1}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi =-{1 \over \varphi }\approx -0.61803\,39887\cdots$

Даље се добија

$\varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}$

и

$(\varphi ^{-1})^{n}=(\varphi ^{-1})^{n-1}+(\varphi ^{-1})^{n-2}$

За све вредности a, b дефинише се низ

$U_{n}=a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}$

Задовољена је и релација

$U_{n}=a\varphi ^{n-1}+b(\varphi ^{-1})^{n-1}+a\varphi ^{n-2}+b(\varphi ^{-1})^{n-2}=U_{n-1}+U_{n-2}$

Нека су $a$ и $b$ изабрани тако да је $U_{0}=0$ и $U_{1}=1$ онда добијени низ мора бити Фибоначијев низ.

Бројеви $a$ и $b$ задовољавају релацију

$a+b=0$

$a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}=1$

Односно важи

$a={\frac {1}{\varphi -\varphi ^{-1}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\,b=-a$

Узимајући $U_{0}$ i $U_{1}$ као почетне варијабле добија се

$U_{n}=a\varphi ^{n}+b(\varphi ^{-1})^{n}=1$

Односно

$a={\frac {U_{1}-U_{0}\varphi ^{-1}}{\sqrt {5}}}$

$b={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}$.

Посматрајмо сада

$\left|{\frac {(\varphi ^{-1})^{n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}$

За $n\geq 0$, broj $F_{n}$ најближи цео број је ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$, који се може добити из функције

$F_{n}=\left[{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right],\ n\geq 0,$

или

$F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\ n\geq 0.$

Слично ако је F>0 Фибоничијев број онда може одредити његов индекс унутар низа.

$n(F)={\bigg \lfloor }\log _{\varphi }\left(F\cdot {\sqrt {5}}+{\frac {1}{2}}\right){\bigg \rfloor },$

где се $\log _{\varphi }(x)$ може израчунати кориштењем логаритма друге базе

Пример

$\log _{\varphi }(x)=\ln(x)/\ln(\varphi )=\log _{10}(x)/\log _{10}(\varphi )$

Особине

Највећи заједнички делитељ два Фибоначијева броја је број чији је индекс једнак највећем заједничком делитељу њихових индекса

Последице

$F_{m}$ је дјељив сa $F_{n}$ ако и само ако је $m$ дељиво са $n$ (без $n=2$)

• $F_{m}$ је дељиво са $F_{3}=2$ само ако је $m=3k$
• $F_{m}$ је дељиво са $F_{4}=3$ само ако је $m=4k$
• $F_{m}$ је дељиво са $F_{5}=5$ само ако је $m=5k$

$F_{m}$ је прост ако је $m$ прост број са искључењем $m=4$

$F_{13}=233$

Обратно не важи тј ако је $m$ прост број $F_{m}$ не мора бити прост

$F{19}=4181=37*113$

Његов полином $x^{2}-x-1$ има корене $\varphi$ и $-\varphi ^{-1}$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .$

Године 1964, Коши је доказао да су у низу Фибоначијевих бројева једини квадрати бројеви са индексом 0,,1,2,12 $F_{0}=0^{2}=0$, $F_{1}=1^{2}=1$, $F_{2}=1^{2}=1$, $F_{12}=12^{2}=144$

Генерирајућа функција низа фибоначијевих бројева је $x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}={\frac {x}{1-x-x^{2}}}$

Фибоначијев низ бројева

Првих 21 Фибоначијевих бројева $F_{n}$ за $n=0,1,2,3,....20$

F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	F10	F11	F12	F13	F14	F15	F16	F17	F18	F19	F20
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765

Овај низ бројева може се проширити и на негативне бројеве.

$F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1},$

$F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}.$

Низ бројева $F_{n}$ за $n=-8,-7,....0,1,2,....8$

F−8

F−7

F−6

F−5

F−4

F−3

F−2

F−1

F0

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

−21

13

−8

5

−3

2

−1

1

0

1

1

2

3

5

8

13

21

Идентитети

• $F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1$
• $F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}$
• $F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1$
• $F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}$
• $F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+1}$ (см. рис.)
• $F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}$
• $F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}$
• $F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}$
• $F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}$

Опште формуле

• $F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1}F_{m-1}$
• $F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}$
• $F_{n}^{}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}$

$F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}$, као и $\ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}}$,

где матрице имају облик $n\times n$, i је имагинарна јединица.

• Фибоначијеви бројеви се могу изразити преко Чебишевљевих полинома

$F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right),$

$F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right).$

За било који $n$

${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.$

Последица

$(-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.$

Формула за поновно добијање Фибоначијевих бројева је

$F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}\pm 4}}}{2}}$

Фибоначијев низ у природи

Фибоначијев низ се често повезује и са бројем фи (phi), или бројем којег многи зову и „Божанским односом”. Ако се узме један део Фибоначијевог низа, 2, 3, 5, 8, те подели сваки следећи број с њему претходним, добиће се увек број приближан броју 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Број 1,618 јесте број фи. Односи мера код биљака, животиња и људи, са запањујућом прецизношћу се приближава броју фи.

Следи неколико примера броја фи и његове повезаности са Фибоначијем и природом:

1. У пчелињој заједници, кошници, увек је мањи број мужјака пчела него женки пчела. Када би поделили број женки са бројем мужјака пчела, увек би добили број фи.
2. Наутилус (главоножац), у својој конструкцији има спирале. Када би се израчунао однос сваког спиралног пречника према следећем добио би се број фи.
3. Семе сунцокрета расте у супротним спиралама. Међусобни односи пречника ротације је број фи.
4. Ако се измери човечија дужину од врха главе до пода, затим се то подели с дужином од пупка до пода, добија се број фи.

Види још

• Фибоначијеви полиноми

Литература

• Ball, Keith M (2003). „8: Fibonacci's Rabbits Revisited”. Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11321-0. .
• Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer .
• Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3rd изд.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
  • Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (4th Revised изд.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0 .
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
• Livio, Mario (2003) [2002]. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (First trade paperback изд.). New York City: Broadway Books. ISBN 0-7679-0816-3. 
• Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres (на језику: француски), 1, Paris: Gauthier-Villars, https://books.google.com/books?id=_hsPAAAAIAAJ .
• Pisano, Leonardo (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Sigler, Laurence E, trans, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6 
• Аракелян, Грант (2014). Математика и история золотого сечения. Логос, 404 с. ISBN 978-5-98704-663-0.

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Fibonacci numbers”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Periods of Fibonacci Sequences Mod m at MathPages
• Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature
• Fibonacci Sequence on In Our Time at the BBC. (listen now)
• OEIS sequence A000045 (Fibonacci numbers)