Funkcionalna analiza

Za procenu i tretman ljudskog ponašanja, pogledajte Funkcionalna analiza (psihologija).

Funkcionalna analiza je grana matematičke analize, čije jezgro je formirano proučavanjem vektorskih prostora koji imaju neku vrstu granične strukture (npr. unutrašnji proizvod, normu, topologiju, itd.) i linearne funkcije definisane na tim prostorima i poštovanje tih struktura u odgovarajućem smislu. Istorijski koreni funkcionalne analize leže u proučavanju prostora funkcija, i u formulaciji svojstava transformacija funkcija, poput Furijeove transformacije, kao transformacije koja definiše kontinualne, unitarne i slične operatore između funkcijskih prostora. Ova tačka gledišta pokazala se posebno korisnom za proučavanje diferencijalnih i integralnih jednačina.

Jedan od mogućih modova vibracije idealizovane kružne membrane bubnja. Ovi modovi su svojstvene funkcije linearnog operatora na funkcijskom prostoru, čestoj konstrukciji u funkcionalnoj analizi.

Upotreba reči funkcionalna potiče iz računa varijacija, implicirajući funkciju čiji je argument funkcija. Termin je prvi put korišten u Adamarovoj knjizi iz 1910. godine o toj temi. Međutim, generalni koncept funkcionalnog je ranije uveo, 1887. godine, italijanski matematičar i fizičar Vito Voltera. Teoriju nelinearnih funkcija nastavili su njegovi učenici, a posebno Freše i Levi. Adamar je osnovao i modernu školu linearne funkcionalne analize, koju su dalje razvili Ris i grupa poljskih matematičara oko Stefana Banaha.

U savremenim uvodnim tekstovima funkcionalne analize, subjekt se posmatra kao proučavanje vektorskih prostora koji imaju topologiju, posebno beskonačno-dimenzionalnih prostora. Nasuprot tome, linearna algebra se uglavnom bavi konačno-dimenzionalnim prostorima, i ne koristi topologiju. Važan deo funkcionalne analize je proširenje teorije mere, integracije i verovatnoće na beskonačno dimenzionalne prostore, takođe poznate kao beskonačno dimenzionalna analiza.

Normirani vektorski prostori

Osnovna i istorijski prva klasa prostora proučavana u funkcionalnoj analizi su potpuno normirani vektorski prostori nad realnim ili kompleksnim brojevima. Takvi prostori se zovu Banahovi prostori. Važan primer je Hilbertov prostor, gde norma nastaje iz unutrašnjeg proizvoda. Ovi prostori su od fundamentalnog značaja u mnogim oblastima, uključujući matematičku formulaciju kvantne mehanike.

Generalnije gledano, funkcionalna analiza obuhvata proučavanje Frešeovih prostora i drugih topoloških vektorskih prostora koji nemaju normu. Važan predmet istraživanja u funkcionalnoj analizi su kontinuirani linearni operatori definisani na Banahovim i Hilbertovim prostorima. Oni prirodno dovode do definicije C*-algebre i drugih operatorskih algebri.

Vidi još

• Spisak tema o funkcionalnoj analizi
• Spektralna teorija

Literatura

• Aliprantis, C.D., Border, K.C.: Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, , Springer 2007. (3rd изд.). ISBN 978-3-540-32696-0. . Online doi:10.1007/3-540-29587-9 (by subscription)
• Bachman, G., Narici, L.: Functional analysis, Academic Press, 1966. (reprint Dover Publications)
• Banach S. Theory of Linear Operations. Volume 38, North-Holland Mathematical Library. 1987. ISBN 978-0-444-70184-8.
• Brezis, H.: Analyse Fonctionnelle, Dunod. ISBN 978-2-10-004314-9. or. ISBN 978-2-10-049336-4.
• Conway, J. B.: A Course in Functional Analysis, , Springer-Verlag. (2nd изд.). 1994. ISBN 978-0-387-97245-9. 
• Dunford, N. and Schwartz, J.T.: Linear Operators, General Theory, John Wiley & Sons, and other 3 volumes, includes visualization charts
• Edwards, R. E.: Functional Analysis, Theory and Applications, Hold, Rinehart and Winston, 1965.
• Eidelman, Yuli, Vitali Milman, and Antonis Tsolomitis: Functional Analysis: An Introduction, American Mathematical Society, 2004.
• Friedman, A.: Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Paperback Edition, July 21, 2010
• Giles,J.R.: Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces,Cambridge University Press,2000
• Hirsch F., Lacombe G. - "Elements of Functional Analysis", Springer 1999.
• Hutson, V., Pym, J.S., Cloud M.J.: Applications of Functional Analysis and Operator Theory, , Elsevier Science. (2nd изд.). 2005. ISBN 978-0-444-51790-6. 
• Kantorovitz, S.,Introduction to Modern Analysis, Oxford University Press,2003,2nd ed.2006.
• Kolmogorov, A.N and Fomin, S.V.: Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Dover Publications, 1999
• Kreyszig, E.: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989.
• Lax, P.: Functional Analysis, Wiley-Interscience. 2002. ISBN 978-0-471-55604-6.
• Lebedev, L.P. and Vorovich, I.I.: Functional Analysis in Mechanics, Springer-Verlag, 2002
• Michel, Anthony N. and Charles J. Herget: Applied Algebra and Functional Analysis, Dover, 1993.
• Pietsch, Albrecht: History of Banach spaces and linear operators, Birkhäuser Boston Inc. 2007. ISBN 978-0-8176-4367-6.
• Reed, M., Simon, B.: "Functional Analysis", Academic Press 1980.
• Riesz, F. and Sz.-Nagy, B.: Functional Analysis, Dover Publications, 1990
• Rudin, W.: Functional Analysis, McGraw-Hill Science, 1991
• Saxe, Karen: Beginning Functional Analysis, Springer, 2001
• Schechter, M.: Principles of Functional Analysis, AMS, 2nd edition, 2001
• Shilov, Georgi E.: Elementary Functional Analysis, Dover, 1996.
• Sobolev, S.L.: Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, AMS, 1963
• Vogt, D., Meise, R.: Introduction to Functional Analysis, Oxford University Press, 1997.
• Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, 6th edition, 1980

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Functional analysis”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl, University of Vienna.
• Lecture Notes on Functional Analysis by Yevgeny Vilensky, New York University.
• Lecture videos on functional analysis by Greg Morrow Архивирано на сајту Wayback Machine (1. април 2017) from University of Colorado Colorado Springs
• An Introduction to Functional Analysis on Coursera by John Cagnol from Ecole Centrale Paris