Отворите главни мени

Интеграл

(преусмерено са Integration (mathematics))
Definite integral example
Одређени интеграл функције може се представити као обележена поља области ограничена графом функције.

Интеграл је један од најважнијих појмова математичке анализе. Постоји више врста интеграла, међу којима су најпознатији неодређени, одређени, Стилтјесов и други.

Неодређени интеграл се уводи као функција у извесном смислу инверзна диференцирању, односно као скуп свих примитивних функција за функцију која се интеграли. Одређени (или Риманов) интеграл се уводи помођу тзв. интегралних сума. Иако је проучавање ових интеграла у почетку текло независно, чувена је формула која успоставља везу између њих - Њутн-Лајбницова формула.

Неодређени интегралУреди

Под неодређеним интегралом назива се скуп свих примитивних функција функције   и означава се са:

 

где се   назива „подинтегралном функцијом (интеграндом)”, док је   „подинтегрални израз”.

Одређени интегралУреди

 
Збир површина нормалних одсечака приближава се траженој површини испод криве када ширина одсечака (на апсциси) тежи нули.

Да би се могао увести појам одређеног интеграла, пре свега је потребно увести појмове поделе сегмента, параметра поделе, скупа изабраних тачака поделе и Дарбуове суме.

Под поделом сегмента   се сматра било који коначан непразан скуп са елементима  , где је   и  . Параметар ове поделе јесте   за  . Скуп изабраних тачака ове поделе је скуп са елементима   за које важи   за све  . Дарбуова сума функције   са датом поделом   и скупом изабраних тачака   је  .

Сада је, по дефиницији, одређени интеграл функције   на сегменту   таква константа   за коју важи

 ,



где су   — подела сегмента  ,   — скуп изабраних тачака поделе  ,   — параметар поделе   и   — Дарбуова сума фукције   при подели   и скупу изабраних тачака  . Тада се каже да је   интеграбилна на  . Број   који задовољава горенаведени критеријум се означава са

 .

Важно је назначити да немају све функције одређени интеграл на неком сегменту. Таква је Вајерштрасова функција која реалан број пресликава у 1 ако и само ако је рационалан и није 0, а иначе у 0. Испоставља се да је потребан и довољан услов да нека буде интеграбилна на неком сегменту њена прекидност у коначно много (или ни у једној) тачака тог сегмента.

Основна теорема интегралног рачунаУреди

Основна теорема интегралног рачуна (која се често назива Њутн-Лајбницовом формулом) даје везу одређеног и неодређеног интеграла. Њом је доказано да се вредност одређеног интеграла може рачунати помоћу неодређеног интеграла (антидеривације) по формули:

 

где је F(x) примитивна функција (антидеривација) функције f(x).

Методе интегрирањаУреди

За разлику од деривирања, интегрирање је знатно сложенији поступак. Док се познавањем таблице деривација елементарних функција и правила за деривирање (збира, разлике, производа, количника и сложене функције) може деривирати свака функцију, код интегрирања поступак није тако једноставан. Интегрирање познаје само два (елементарна) правила:

  • Правило за интегрирање функције помножене скаларом
 
  • Правило за интегрирање збира и разлике функција
 

Не постоје правила за интегрирање производа, количника или сложене функције, а многи интеграли су доказано нерјешиви помоћу елементарних функција, попут интеграла  .

Три основне методе које се користе за решавање интеграла су[1]:

  • Метода непосредне интеграције је метода у којој је циљ да се подинтегрална функција f(x) запише на математички еквивалентан начин, који омогућава интегрирање помоћу таблице основних интеграла. На пример, не постоји правило за интегрирање умношка  , али ако се подинтегрална функција запише свођењем израза на заједничку базу x,  , интеграл се решавамо уз помоћ таблице основних интеграла.
  • Метода супституције је метода којом се део или цела подинтегрална функција замењује једноставнијим изразом.
  • Метода парцијалне интеграције је метода чија је основна формула изведена из формуле за деривирање умношка. Смисао методе је, према поступку описаном формулом, део подинтегралне функције деривирати, а део интегрисати (отуда и назив парцијална интеграција). Циљ је да се добије једноставнији облик интеграла.

Неправи интегралУреди

 
Пример конвергентног неправог интеграла. Иако функција само тежи нули када се x повећава, скуп означен плавом бојом има површину једнаку неправом интегралу који износи 1.

Неправи интеграл је проширење концепта интеграла на полуотворене сегменте или на интервал  , с тим да рубна тачка b може бити бесконачна и функција у околини тачке b може бити неограничена.[2]

Размотримо функцију  . Помоћу неправог интеграла може се скупу испод графа те функције, и изнад осе x, на   доделити његова површина и то на овај начин:

 

У том случају написани лимес се назива неправим интегралом. Ако постоји тај лимес онда се каже да интеграл конвергира. Обично се у литератури неправи интеграл записује исто као и обичан интеграл, па читатељ треба испитивањем подинтегралне функције и граница интеграције да утврди о којем је интегралу реч.

Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^ „Tehnike integrisanja” (PDF). 
  2. ^ Svetozar Kurepa: Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 231-234)

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди