Kvadrat binoma

Kvadrat binoma je jednak zbiru kvadrata oba člana tog binoma i njihovog dvostrukog proizvoda:

$(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$

Naime, imamo da je:

$(A+B)^{2}$ = $(A+B)\cdot (A+B)$=$A\cdot A+A\cdot B+B\cdot A+B\cdot B$=$A^{2}+2AB+B^{2}$=

Kvadrat razlike monoma A i B jednak je razlici zbira kvadrata članova tog monoma i dvostrukog proizvoda tih monoma:

$(A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$

U ovom slučaju, imamo da je:

$(A-B)^{2}$ = $(A-B)\cdot (A-B)$ =$A\cdot A-A\cdot B-B\cdot A+B\cdot B$= $A^{2}-2AB+B^{2}$

Primer1. $(2x-5)^{2}$= $(2x)^{2}-2\cdot 2x\cdot 5+5^{2}$= $4x^{2}-20x+25$

$(3x+5)^{2}$= $(3x)^{2}+2\cdot 3x\cdot 5+5^{2}$= $9x^{2}+30x+25$

Navedena pravila mogu se koristiti za jednostavno računanje kvadrata brojeva koji su bliski dekadnim jedinicama.

Primer 2. $397^{2}$= $(400-3)^{2}$= $400^{2}-2\cdot 400\cdot 3+3^{2}$= $160000-2400+9$=$157609$

Može se dati i geometrijska interpretacija formule za kvadrat binoma.

Posmatrajmo kvadrat stranice $a+b$. Površina tog kvadrata je $(a+b)^{2}$. Sa slike vidimo da je površina ovog kvadrata jednaka zbiru površina dva kvadrata i dva jednaka pravougaonika. Tada je:

• $(a+b)^{2}$ površina kvadrata stranice
• $a^{2}$ površina kvadrata stranice
• $b^{2}$ površina kvadrata stranice
• $a\cdot b$ površina pravougaonika stranice a i b