Mandelbrotov skup

Mandelbrotov set ili skup je skup tačaka $c$ kompleksne ravni za koje je Julijin skup (u užem smislu) povezan.^[1]^[2] One su povezane funkcijom $f_{c}(z)=z^{2}+c$ koja ne divergira pri iteracijama od $z=0$ , i.e., za koju sekvenca $f_{c}(0)$ , $f_{c}(f_{c}(0))$ , etc., ostaje vezana u apsolutnoj vrednosti. Set je dobio ime po francusko-američkom matematičaru Benoi Mandelbrotu.^[3]

Slike Mandelbrotovog seta se mogu kreirati putem uzorkovanja kompleksnih brojeva i testiranja, za svaku tačku uzorka $c$ , da li sekvenca $f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),\dotsc$ ide u beskonačnost (u praksi - da li napušta neko unapred određeno granično susedstvo od 0 nakon unapred određenog broja iteracija). Tretirajući realne i imaginarne delove od $c$ kao koordinate slike kompleksne ravni, pri čemu se pikseli zatim mogu obojiti prema tome koliko brzo niz $|f_{c}(0)|,|f_{c}(f_{c}(0))|,\dotsc$ prelazi neki proizvoljno izabrani prag. Specijalna boja (obično crna) se koristi za vrednosti $c$ za koje sekvenca niz ne prelazi preko praga nakon unapred određenog broja iteracija (to je neophodno da bi se napravila jasna razlika između slike Mandelbrotovog seta i njegovog komplementa). Ako se $c$ drži konstantinim i inicijalna vrednost od $z$ , označena sa $z_{0}$ , se umesto toga varira, dobija se korespondirajući Julijin set za svaku tačku $c$ u parametarskom prostoru jednostavne funkcije.

Istorija уреди

Prva objavljena slika Mandelbrotovog seta, Roberta V. Bruksa i Pitera Matelskog 1978.

Mandelbrotov skup ima svoje poreklo u kompleksnoj dinamici, oblasti koju su prvi istražili Pjer Fatu i Gaston Žulija početkom 20. veka. Ovaj fraktal su prvi definisali i nacrtali 1978. Robert V. Bruks i Peter Matelski kao deo studije Klajnovih grupa.^[4] Dana 1. marta 1980. u IBM-ovom istraživačkom centru Tomas Dž. Vatson u Jorktaun Hajtsu, Njujork, Benoit Mandelbrot je prvi put video vizualizaciju seta.^[2]

Mandelbrot je proučavao prostor parametara kvadratnih polinoma u članku koji je objavio 1980. godine.^[5] Matematičko proučavanje Mandelbrotovog skupa zapravo je počelo radom matematičara Adrijena Duadija i Džona H. Habarda (1985),^[3] koji su ustanovili mnoga njegova osnovna svojstva i nazvali skup u čast Mandelbrota zbog njegovog uticajnog rada u fraktalnoj geometriji.

Matematičari Hajnc-Oto Pajtgen i Peter Rihter postali su poznati po promovisanju seta fotografijama, knjigama (1986)^[6] i međunarodnom turnejom izložbe nemačkog Geteovog instituta (1985).^[7]^[8]

Naslovni članak časopisa Scientific American iz avgusta 1985. upoznao je široku publiku sa algoritmom za izračunavanje Mandelbrotovog skupa. Naslovnu stranicu su kreirali Pajtgen, Rihter i Saup sa Univerziteta u Bremenu.^[9] Mandelbrotov set postao je istaknut sredinom 1980-ih kao demonstracija kompjuterske grafike, kada su personalni računari postali dovoljno moćni da prikažu set u visokoj rezoluciji.^[10]

Rad Duadija i Habarda poklopio se sa ogromnim porastom interesovanja za kompleksnu dinamiku i apstraktnu matematiku, a proučavanje Mandelbrotovog skupa je od tada centralni deo ove oblasti. Iscrpna lista svih koji su od tada doprineli razumevanju ovog skupa je duga, ali uključuje Žan Kristof Jokoza, Micuhiro Šišikura, Kurta Mekmulena, Džona Milnora i Mihaila Ljubiča.^[11]^[12]

Konstrukcija уреди

Preko slike Mandelbrotovog skupa nacrtani su mali Julijini skupovi čija vrednost c odgovara koordinati kompleksne ravni na kojoj se nalazi središte svakog od njih.

U Julijin skup (u užem smislu), kao što je već rečeno, može se uvrstiti bilo koji kompleksni broj c. Zavisno od tog broju, Julijin skup može biti povezan ili nepovezan. Ako na kompleksnoj ravni označimo sve brojeve c pomoću kojih se dobiva povezan Julijin skup, definiše se Mandelbrotov skup. Mandelbrotov se skup može prikazati na isti način na koji se najčešće prikazuje Julijin skup – bojeći tačke koje pripadaju skupu crno, a ostale u raznim nijansama zavisno od toga koliko brzo divergiraju.

Svojstva уреди

Osnovna уреди

Mandelbrotov skup (crno) u kompleksnoj ravni

Mandelbrotov je skup zatvoren skup kojemu su sve tačke unutar (zatvorenog) kruga poluprečnika 2 sa središtem u ishodištu. Štaviše, tačka c pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako vredi $|f_{c}^{n}(0)|\leq 2$ za sve $n\geq 0$ . Drugim rečima, ako je apsolutna vrednost $f_{c}^{n}(0)$ za neki $n\geq 0$ veća od 2, niz će težiti u beskonačnost (divergirati). Presek Mandelbrotovog skupa sa realnom osom daje interval [−2, 0.25]. Površina se procenjuje na 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, te se veruje da je jednaka ${\sqrt {6\pi -1}}-e=1.506591651\ldots$

Samosličnost уреди

Mandelbrotov je skup kvazi samosličan (vidi Podela fraktala) jer se u njemu pojavljuju izmenjene verzije njega samog.^[13]^[14] Izmenjene su uglavnom zbog skupova tačaka koji „vire” iz njih povezujući ih s glavnim delom (deo 1 u podnaslovu ispod, slika desno).

Atraktori perioda-n уреди

Skupovi tačaka konvergiraju onom broju vrednosti kojim su označene.

Zanimljivo je da u području označenom cifrom 1 na slici sa strane svaka tačka konvergira samo jednoj vrijednosti (ne nužno istoj za svaku točku), odnosno tijekom iteracija stvara atraktor perioda-1 (vidi Bifurkacijski dijagram populacijske jednačine). Na području 2 svaka tačka čini atraktor perioda-2. U Mandelbrotovom skupu postoji barem jedno područje za atraktor perioda-n, $n\in \mathbb {N}$ . Područja koja su direktno spojena s područjem 1 čine atraktor perioda-n, ako iz njih „viri” n-1 „antena”:

Galerija uvećavanja уреди

Svaka slika predstavlja jedan uvećani deo prethodne. Vidljiva je beskonačna složenost skupa i bogatstvo geometrijskih struktura. Uvećanje zadnje slike u odnosu na prvu je otprilike 60 000 000 000 : 1. Na prosečnom monitoru zadnja slika bi bila deo Mandelbrotovog skupa prečnika oko 20 miliona kilometara.

	I	II	III	IV
V	VI	VII	VIII	IX
X	XI	XII	XII	XIV

Varijacije уреди

Multibrot skupovi trećeg i četvrtog stupnja

Moguće je napraviti Mandelbrotov skup pomoću funkcije $f(z_{n-1})=z_{n}^{b}+c,b>2$ . Takvi se skupovi popularno nazivaju multibrot skupovima.

Vidi još уреди

Reference уреди

^ „Mandelbrot Set Explorer: Mathematical Glossary”. Приступљено 07. 10. 2007.
^ ^а ^б R.P. Taylor & J.C. Sprott (2008). „Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers” (pdf). Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, No. 1. Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences. Приступљено 01. 1. 2009.
^ ^а ^б Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
^ Robert Brooks and Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in Irwin Kra (1. 5. 1981). Irwin Kra, ур. Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (PDF). Bernard Maskit. Princeton University Press. ISBN 0-691-08267-7. Архивирано из оригинала (PDF) 28. 7. 2019. г. Приступљено 1. 7. 2019.
^ Mandelbrot, Benoit (1980). „Fractal aspects of the iteration of $z\mapsto \lambda z(1-z)$ for complex $\lambda ,z$ ”. Annals of the New York Academy of Sciences. 357 (1): 249—259. S2CID 85237669. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x.
^ Peitgen, Heinz-Otto; Richter Peter (1986). The Beauty of Fractals. Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 0-387-15851-0.
^ Frontiers of Chaos, Exhibition of the Goethe-Institut by H.O. Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe. Since 1985 shown in over 40 countries.
^ Gleick, James (1987). Chaos: Making a New Science. London: Cardinal. стр. 229.
^ „Exploring The Mandelbrot Set”. Scientific American. 253 (2): 4. август 1985. JSTOR 24967754 — преко JSTOR.
^ Pountain, Dick (септембар 1986). „Turbocharging Mandelbrot”. Byte. Приступљено 11. 11. 2015.
^ Lyubich, Mikhail (1999). „Six Lectures on Real and Complex Dynamics” (PDF). Приступљено 4. 4. 2007.
^ Lyubich, Mikhail (новембар 1998). „Regular and stochastic dynamics in the real quadratic family” (PDF). Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 95 (24): 14025—14027. Bibcode:1998PNAS...9514025L. PMC 24319  . PMID 9826646. doi:10.1073/pnas.95.24.14025  . Приступљено 4. 4. 2007.
^ Lei (1990). „Similarity between the Mandelbrot set and Julia Sets”. Communications in Mathematical Physics. 134: 587—617. Bibcode:1990CMaPh.134..587L. doi:10.1007/bf02098448.
^ Milnor, J. (1989). „Self-Similarity and Hairiness in the Mandelbrot Set”. Ур.: M. C. Tangora. Computers in Geometry and Topology. New York: Taylor & Francis. стр. 211—257. )

Literatura уреди

John W. Milnor, Dynamics in One Complex Variable (Third Edition), Annals of Mathematics Studies 160. . Princeton University Press. 2006. ISBN 978-0-691-12488-9.
(First appeared in 1990 as a Stony Brook IMS Preprint, available as arXiV:math.DS/9201272 )
Nigel Lesmoir-Gordon, The Colours of Infinity: The Beauty, The Power and the Sense of Fractals. ISBN 978-1-904555-05-6.
(includes a DVD featuring Arthur C. Clarke and David Gilmour)
Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science (Springer, New York, 1992). 2004. ISBN 978-0-387-20229-7.
Michael Frame, Benoit Mandelbrot, Fractals, Graphics, and Mathematics Education, Volume 58 of Mathematical Association of America Notes, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-88385-169-5, pp. 57–59 (and used throughout the book)
Lobo, Albert. „Meet the Buddhabrot technique”. Molecular Density. Архивирано из оригинала 2018-09-03. г. Приступљено 2011-11-21.
Mathologer. „The dark side of the Mandelbrot set”. YouTube. Архивирано из оригинала 06. 06. 2023. г. Приступљено 25. 06. 2023.
An ongoing volunteer computing project Архивирано 2021-08-30 на сајту Wayback Machine by David Bařina verifies Convergence of the Collatz conjecture for large values. (furthest progress so far)
(BOINC) volunteer computing project Архивирано на сајту Wayback Machine (4. децембар 2017) that verifies the Collatz conjecture for larger values.
An ongoing volunteer computing project by Eric Roosendaal verifies the Collatz conjecture for larger and larger values.
Another ongoing volunteer computing project by Tomás Oliveira e Silva continues to verify the Collatz conjecture (with fewer statistics than Eric Roosendaal's page but with further progress made).
Weisstein, Eric W. „Collatz Problem”. MathWorld.
Collatz Problem at PlanetMath.org..
Nochella, Jesse. „Collatz Paths”. Wolfram Demonstrations Project.
Eisenbud, D. (8. 8. 2016). Uncrackable? The Collatz conjecture (short video). Numberphile. Архивирано из оригинала 2021-12-11. г. — преко YouTube.
Eisenbud, D. (9. 8. 2016). Uncrackable? Collatz conjecture (extra footage). Numberphile. Архивирано из оригинала 2021-12-11. г. — преко YouTube.
de (featuring) (30. 7. 2021). The simplest math problem no one can solve (short video). Veritasium — преко YouTube.
Are computers ready to solve this notoriously unwieldy math problem?

Spoljašnje veze уреди

"Mandelbrot set - The most advanced online generator"
Chaos and Fractals на сајту Curlie
The Mandelbrot Set and Julia Sets by Michael Frame, Benoit Mandelbrot, and Nial Neger Архивирано на сајту Wayback Machine (21. мај 2013)
Video: Mandelbrot fractal zoom to 6.066 e228
मण्डलबेथ (maṇḍalabeth) 3D analog of the mandelbrot set, with various symmetry groups
Relatively simple explanation of the mathematical process, by Dr Holly Krieger, MIT
Mandelbrot set images online rendering
Fractal calculator written in Lua by Deyan Dobromiroiv, Sofia, Bulgaria
Matthews, Keith. „3 $x$ + 1 page”.

[1] „Mandelbrot Set Explorer: Mathematical Glossary”. Приступљено 07. 10. 2007.

[bf-2] а ^б R.P. Taylor & J.C. Sprott (2008). „Biophilic Fractals and the Visual Journey of Organic Screen-savers” (pdf). Nonlinear Dynamics, Psychology, and Life Sciences, Vol. 12, No. 1. Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences. Приступљено 01. 1. 2009.

[John_H._Hubbard_1985-3] а ^б Adrien Douady and John H. Hubbard, Etude dynamique des polynômes complexes, Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)

[:0-4] Robert Brooks and Peter Matelski, The dynamics of 2-generator subgroups of PSL(2,C), in Irwin Kra (1. 5. 1981). Irwin Kra, ур. Riemann Surfaces and Related Topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (PDF). Bernard Maskit. Princeton University Press. ISBN 0-691-08267-7. Архивирано из оригинала (PDF) 28. 7. 2019. г. Приступљено 1. 7. 2019.

[5] Mandelbrot, Benoit (1980). „Fractal aspects of the iteration of $z\mapsto \lambda z(1-z)$ for complex $\lambda ,z$ ”. Annals of the New York Academy of Sciences. 357 (1): 249—259. S2CID 85237669. doi:10.1111/j.1749-6632.1980.tb29690.x.

[6] Peitgen, Heinz-Otto; Richter Peter (1986). The Beauty of Fractals. Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 0-387-15851-0.

[7] Frontiers of Chaos, Exhibition of the Goethe-Institut by H.O. Peitgen, P. Richter, H. Jürgens, M. Prüfer, D.Saupe. Since 1985 shown in over 40 countries.

[8] Gleick, James (1987). Chaos: Making a New Science. London: Cardinal. стр. 229.

[9] „Exploring The Mandelbrot Set”. Scientific American. 253 (2): 4. август 1985. JSTOR 24967754 — преко JSTOR.

[10] Pountain, Dick (септембар 1986). „Turbocharging Mandelbrot”. Byte. Приступљено 11. 11. 2015.

[11] Lyubich, Mikhail (1999). „Six Lectures on Real and Complex Dynamics” (PDF). Приступљено 4. 4. 2007.

[12] Lyubich, Mikhail (новембар 1998). „Regular and stochastic dynamics in the real quadratic family” (PDF). Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 95 (24): 14025—14027. Bibcode:1998PNAS...9514025L. PMC 24319  . PMID 9826646. doi:10.1073/pnas.95.24.14025  . Приступљено 4. 4. 2007.

[13] Lei (1990). „Similarity between the Mandelbrot set and Julia Sets”. Communications in Mathematical Physics. 134: 587—617. Bibcode:1990CMaPh.134..587L. doi:10.1007/bf02098448.

[14] Milnor, J. (1989). „Self-Similarity and Hairiness in the Mandelbrot Set”. Ур.: M. C. Tangora. Computers in Geometry and Topology. New York: Taylor & Francis. стр. 211—257. )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]