Multivarijantna normalna raspodela

(преусмерено са Multivariate normal distribution)

U teoriji verovatnoće i statistici, multivarijantna normalna raspodela, multivarijantna Gausova raspodela, ili zajednička normalna raspodela je generalizacija jednodimenzionalne (univarijantne) normalne distribucije na više dimenzija. Jedna definicija je da se randomni vektor smatra k-varijantno normalno distribuiranim ako svaka linearna kombinacija njegovih k komponenata ima univarijantnu normalnu distribuciju. Njen značaj proističe uglavnom iz multivarijantne centralne granične teoreme. Multivarijantna normalna distribucija često se koristi za opisivanje, barem aproksimativno, bilo kojeg skupa (mogućih) korelisanih realno-vrednosnih radomnih promenljivih, od kojih se svaka grupiše oko srednje vrednosti.

Multivarijantna normalna raspodela
Funkcija gustine verovatnoće
MultivariateNormal.png
Mnogštvo uzoraka sa multivarijantnom normalnom distribucijom sa i , prikazani zajedno sa 3-sigma elipse, dve marginalne distribucije, i dva 1-d histograma.
Notacija
ParametriμRklokacija
ΣRk × kkovarijansa (pozitivna poludefinitivna matrica)
Nositeljxμ + span(Σ) ⊆ Rk
PDF
postoji samo kad je Σ positivna-definitivna
Prosekμ
Modusμ
VarijansaΣ
Entropija
MGF
CF
Kulbek-Lajblerova divergencijapogledajte ispod

Notacija i parametrizacijaУреди

Multivarijantna normalna distribucija k-dimenzionalnog randomnog vektora   može se zapisati na sledeći način:

 

ili da se naglasi da je X k-dimenziono,

 

sa k-dimenzionim srednjim vektorom

 

i   kovarijantnom matricom

 

takvom da   Inverzna matrica kovarijantne matrice se zove matrica preciznosti i označava se sa  .

DefinicijeУреди

Standardni normalni randomni vektorУреди

Realni randomni vektor   se zove standardni normalni randomni vektor ako su sve njegove komponente   nezavisne i svaka je normalno distribuirana randomna promenljiva sa nultom srednjom vrednosti i jediničnom varijansom, i.e. ako   za svako  .[1]:p. 454

Centrirani normalni randomni vektorУреди

Realni randomni vektor   se zove centrirani normalni randomni vektor ako postoji deterministička   matrica   takva da   ima istu distribuciju kao   gde je   standardni normalni randomni vektor sa   komponenata.[1]:p. 454

Normalni randomni vektorУреди

Realni randomni vektor   se zove normalni randomni vektor ako postoji randomni  -vektor  , koji je standardni normalni randomni vektor,  -vektor  , i   matrica  , takva da je  .[2]:p. 454[1]:p. 455

Formalno:

 

Kovarijantna matrica je  .

U degenerativnom slučaju gde je kovarijantna matrica singularna, korespondirajuća distribucija nema gustinu. Ovaj slučaj se često pojavljuje u statistici; na primer, u raspodeli vektora reziduala u regresiji običnih najmanjih kvadrata. Takođe treba imati na umu da   uglavnom nisu nezavisni; oni se mogu videti kao rezultat primene matrice   na kolekciju nezavisnih Gausovih promenljivih  .

Ekvivalentne definicijeУреди

Sledeće definicije su ekvivalentne sa gornjom definicijom. Randomni vektor   ima multivarijatnu normalnu distribuciju ako zadovoljava jedan od sledećih uslova.

  • Svaka linearna kombinacija   njegovih komponenti je normalno distribuirana. Drugim rečima, za svaki konstantni vektor  , randomna promenljiva   ima univarijatnu normalnu distribuciju, gde je univarijatna normalna distribucija sa nultom varijansom tačka mase na svojoj srednjoj vrednosti.
  • Postoji k-vektor   i simetrična, pozitivna poludefinitivna   matrica  , takva da karakteristična funkcija od   je
 

Sferina normalna distribucija može da bude karakterisana kao jedinstvena distribucija, pri čemu su komponente nezavisne u svakom ortogonalnom koordinatnom sistemu.[3][4]

ReferenceУреди

  1. 1,0 1,1 1,2 Lapidoth, Amos (2009). A Foundation in Digital Communication. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5. 
  2. ^ Gut, Allan (2009). An Intermediate Course in Probability. Springer. ISBN 978-1-441-90161-3. 
  3. ^ Kac, M. (1939). „On a characterization of the normal distribution”. American Journal of Mathematics. 61 (3): 726—728. JSTOR 2371328. doi:10.2307/2371328. 
  4. ^ Sinz, Fabian; Gerwinn, Sebastian; Bethge, Matthias (2009). „Characterization of the p-generalized normal distribution”. Journal of Multivariate Analysis. 100 (5): 817—820. doi:10.1016/j.jmva.2008.07.006. 

LiteraturaУреди

  • Rencher, A.C. (1995). Methods of Multivariate Analysis. New York: Wiley. 
  • Tong, Y. L. (1990). The multivariate normal distribution. Springer Series in Statistics. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4613-9657-4. doi:10.1007/978-1-4613-9655-0. 

Spoljašnje vezeУреди