Четвороугао

(преусмерено са Quadrilateral)

Четвороугао је у геометрији у равни затворени геометријски облик кога окружују четири дужи спојене у четири темена.[1] Формална дефиниција четвороугла каже да је четвороугао многоугао који има четири темена. Сваки четвороугао има тачно две дијагонале. Дијагонала је дуж која спаја два несуседна темена. Други назив за општи четвороугао је трапезоид. Трапезоиди (као нпр. делтоид) немају паралелне странице.

Четвороугао
Различити типови четвороугла
Ивице и темена4
Симбол Шлефли{4} (за квадрат)
Површинаразни методи
Унутрашњи угао (степени)90° (за квадрат и правоугаоник)

Реч „квадрилатералан” је изведена из латинских речи quadri, варијанте речи четири, и latus, са значењем „страна”. Квадрилатерали су једноставни (без самопресецања) или комплексни (самопресецајући), који се такође називају укрштеним. Једноставни четвороугли су или конвексни или конкавни. Четвороугао са врховима , , и се понекад означава као .[2]

Унутрашњи углови једноставног (и планарног) четвороугла ABCD имају суму од 360 угаоних степени,[2] односно Ово је посебан случај формуле суме унутрашњих углова (n − 2) × 180°.[3] Сви четвороугаоници без самоукрштања постављају раван формирану поновљеном ротацијом око средишта њихових ивица.[4]

Подела четвороуглова

уреди

Четвороуглови се пре свега деле на конвексне и неконвексне. Неконвексни се деле на четвороуглове са и без самопресека. Потребан и довољан услов да четвороугао буде конвексан је да се дијагонале четвороугла секу.[5][6]

Основна подела конвексних четвороуглова је према броју парова паралелних страница. Приметимо да суседне странице многоугла не могу бити паралелне, јер се праве које их садрже секу у темену многоугла. Сваке две странице троугла су суседне, па наведена подела није била применљива на троуглове. Конвексан четвороугао који има један пар паралелних страница зовемо трапез,[7][8] а онај који има два пара паралелних страница зовемо паралелограм.

Напомена. У литератури постоји извесно неслагање по питању тога да ли је скуп паралелограма подскуп скупа трапеза или су то два дисјунктна скупа. Ствар је у различитим интерпретацијама дефиниције трапеза. Док једни сматрају да је трапез сваки четвороугао који има бар један пар паралелних страница, други преферирају да трапезом називају само онај четвороугао који има тачно један пар паралелних страница.

У сврху сажетости даљег излагања наводимо дефиниције основице и крака трапеза. Паралелне странице трапеза зовемо основице, а преостале две странице краци. Ако крак посматрамо као трансверзалу, онда видимо да су два угла која належу на крак суплементни, као углови са паралелним крацима.

Појмови тангентан многоугао и тетиван многоугао применљиви су и у случају четвороугла.

Конвексни четвороуглови се деле на тангентне (оне у које се може уписати круг) и тетивне (оне око којих се може описати круг) четвороуглове и на општи случај трапеза, четвороугла коме су две наспрамне странице паралелне. Четвороуглови који су истовремено тетивни и тангентни се још зову и бицентричним.

Специјалан случај тангентног четвороугла је делтоид, који има два пара суседних међусобно једнаких страница.

Општи трапез има још три специјална подслучаја:

Напомена. Иако је наведена дефиниција на први поглед у нескладу са називом једнакокраког трапеза, њоме се избегава сложеност у навођењу особина једнакокраког трапеза и његовог места у подели четвороуглова. Наиме, ако би једнакокраки трапез био дефинисан као трапез чији су краци једнаки, онда би обухватио паралелограм, а изгубио би све друге наведене особине (тетивност, једнакост дијагонала, углова на основици).

Паралелограм има два специјална случаја:

  • Ромб је четвороугао коме су све странице једнаке, а специјалан је случај паралелограма и делтоида,[10]
  • Правоугаоник је четвороугао коме су сви углови (или бар три) прави и такође је специјалан случај паралелограма. Ако прихватамо дефиницију трапеза која обухвата паралелограме, онда је правоугаоник осим тога специјалан случај и једнакокраког и правоуглог трапеза.

Квадрат је специјалан случај паралелограма који има особине ромба и правоугаоника: сви углови су му прави и све странице су му међусобно једнаке. Квадрат је пример бицентричног четвороугла. Квадрат се може дефинисати као правилан четвороугао. Квадрат је такође и специјалан случај делтоида јер има три права угла.

Формуле

уреди
 
Трапезоид: општи четвороугао

Збир углова у четвороуглу је једнак 360° односно 2π:

 

Ако је угао Θ прав, наспрамне странице се могу посматрати као катете правоуглих троуглова који имају исту дужину хипотенузе:

 

Површина четвороугла може бити изражена на следеће начине:

 ,
 ,
 .

Референце

уреди
  1. ^ Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] изд.). New York: Dover Publications.  In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4
  2. ^ а б „Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram”. Mathsisfun.com. Приступљено 2020-09-02. 
  3. ^ „Sum of Angles in a Polygon”. Cuemath. Приступљено 22. 6. 2022. 
  4. ^ Martin, George Edward (1982), Transformation geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Theorem 12.1, page 120, ISBN 0-387-90636-3, MR 718119, doi:10.1007/978-1-4612-5680-9 
  5. ^ James A. H. Murray (1926). A New English Dictionary on Historical Principles: Founded Mainly on the Materials Collected by the Philological Society. X. Clarendon Press at Oxford. стр. 286 (Trapezium). „With Euclid (c 300 B.C.) τραπέζιον included all quadrilateral figures except the square, rectangle, rhombus, and rhomboid; into the varieties of trapezia he did not enter. But Proclus, who wrote Commentaries on the First Book of Euclid's Elements A.D. 450, retained the name τραπέζιον only for quadrilaterals having two sides parallel, subdividing these into the τραπέζιον ἰσοσκελὲς, isosceles trapezium, having the two non-parallel sides (and the angles at their bases) equal, and σκαληνὸν τραπέζιον, scalene trapezium, in which these sides and angles are unequal. For quadrilaterals having no sides parallel, Proclus introduced the name τραπέζοειδὲς TRAPEZOID. This nomenclature is retained in all the continental languages, and was universal in England till late in the 18th century, when the application of the terms was transposed, so that the figure which Proclus and modern geometers of other nations call specifically a trapezium (F. trapèze, Ger. trapez, Du. trapezium, It. trapezio) became with most English writers a trapezoid, and the trapezoid of Proclus and other nations a trapezium. This changed sense of trapezoid is given in Hutton's Mathematical Dictionary, 1795, as ‘sometimes’ used -- he does not say by whom; but he himself unfortunately adopted and used it, and his Dictionary was doubtless the chief agent in its diffusion. Some geometers however continued to use the terms in their original senses, and since c 1875 this is the prevalent use. 
  6. ^ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (5. 4. 2016). The Symmetries of Things. CRC Press. стр. 286. ISBN 978-1-4398-6489-0. 
  7. ^ http://www.mathopenref.com/trapezoid.html Mathopenref definition
  8. ^ A. D. Gardiner & C. J. Bradley, Plane Euclidean Geometry: Theory and Problems, UKMT, 2005, p. 34.
  9. ^ „Types of Quadrilaterals”. Basic-mathematics.com. 
  10. ^ „CIMT - Page no longer available at Plymouth University servers” (PDF). www.cimt.plymouth.ac.uk. Архивирано из оригинала (PDF) 2014-05-14. г. 

Литература

уреди
  • Yates, Robert C. (март 1941), „The trisection problem”, National Mathematics Magazine, 15 (6): 278—293, JSTOR 3028413, doi:10.2307/3028413 

Спољашње везе

уреди