Елиптични координатни систем

Елиптични координатни систем је дводимензионални координатни систем, у ком су координатне линије представљене елипсама и хиперболама. Фокуси елипси су фиксирани на $-a$ и $+a$ на оси $x$ .

Основна дефиниција уреди

Елиптичне координате $(\mu ,\nu )$ обично се дефинишу као:

x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu

y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu

где је $\mu$ ненегативан реалан број, а $\nu \in [0,2\pi ].$ На тај начин следећим тригонометријским идентитеом одређује се фамилија елипси константнога $\mu$ :

{\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1

С друге стране другом једначином одређује се фамилија хипербола константнога $\nu$ :

{\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1

Ламеови коефицијенти уреди

У ортогоналном координатном систему дужине вектора базе познате су као фактори скалирања или као Ламеови коефицијенти, који су за елиптичне координате:

H_{\mu }=H_{\nu }=a{\sqrt {\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu }}.

а након сређивања као:

H_{\mu }=H_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\mathrm {ch} \,2\mu -\cos 2\nu }}).

Елеменат површине дат је са:

dS=a^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu ,

а Лапласијан:

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right).

Алтернативна дефиниција уреди

Понекад се користи и алтернативна дефиниција елиптичних координата $(\sigma ,\;\tau )$ :

\sigma =\mathrm {ch} \,\mu ,

\tau =\cos \nu .

Координате $(\sigma ,\;\tau )$ имају једноставан однос са удаљеностима $d_{1},d_{2}$ од фокуса $F_{1}$ и $F_{2}$ .

d_{1}+d_{2}=2a\sigma ,

d_{1}-d_{2}=2a\tau ,

На тај начин добија се и:

d_{1}=a(\sigma +\tau );

d_{2}=a(\sigma -\tau ).

Тај координатни систем има недостатак да координате (x,y) и (x,-y) имају исти $(\sigma ,\tau )$ , па конверзија није једнозначна:

x=a\sigma \tau ;

y^{2}=a^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2}).

Ламеови коефицијенти алтернативне верзије уреди

Ламеови коефицијенти алтернативних елиптичних координата $(\sigma ,\tau )$ су:

h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}

h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.

Елеменат површине дат је са:

dA=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau

а Лапласијан је:

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right].

Литература уреди

Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.