Еквивалентна импеданса

Еквивалентна импеданса је еквивалентно коло електричне мреже са елементима импедансе које представљају исту импедансу између свих парова терминала као што је у датој мрежи. Овај текст описује математичке трансформације између неких пасивних мрежа линеарне импедансе која се најчешће проналази у електричним колима.

Постоји неколико добро познатих и често употребљивањих еквивалентних кола у анализи линеарних мрежа. Она укључују отпорнике у низовима, паралелно постављене отпорнике и проширују се на редно везана и паралалелна кола за кондензаторе, проводнике и општу импедансу. Такође су добро познати Нортонов и Тевенинов еквивалентан генератор струје и генератор напона кола респективно као што је Y-Δ трансформација. О њима даље неће бити речи и треба консултовати појединачне текстове о томе.

Неколико еквивалентних кола у које се може трансформисати линеарна мрежа је невезано. Чак и у најтривијалнијим случајевима се ово може показати као истинито, на пример када се запитамо колико различитих комбинација паралелних отпорника је еквивалент датом комбинованом отпорнику. Овај текст нема претензија ка опсежности али могуће је обратити пажњу на неколико генералија. Вилхелм Кауер открио је трансформацију која може да доведе до свих могућих еквивалената дате рационалне пасивне линеарне једноулазне или другим речима било које дате двополне импедансе. Трансформације четворополних нарочито двоулазних мрежа се такође често сусрећу а могуће су и трансформације још комплекснијих мрежа.

Широк опсег тема о еквивалентним колима је потцењен у причи Сиднија Дарлингтона. Судећи по Дарлингтону, велики број еквивалентних кола је открио Роналд Фостер пратећи свој рад и рад Џорџа Кемпбела из 1920. Године о недиспативости четвороулазне мреже. У току свог рада они су тражили начине на које четири улаза могу бити међусобно повезана иделаним трансформаторима и уз максимални трансфер енергије. Открили су неколико комбинација које би могле имати практичну примену и тражили од АТ & Т одлељења за патенте да их патентирају. Одељење за патенте им је рекло да нема сврхе патентирати само неколико кола ако би конкуренција могла да искористи еквивалентно коло да заобиђе њихов патент; треба да патентирају све или да одустану. Фостер је онда извео прорачуне за свако од њих. Дошао је до огромне суме од 83, 539 еквивалената (577,722 ако се укључе и различити опсег аутпута). Ово је било превише за патентирање па је уместо тога информација пуштена у јавност да би се спречило патентирање свега тога од стране конкуренције АТ & Т убудуће.

Двополне, двоелементне врсте мрежа

Једна импеданса има два терминала која повезује ка спољном свету, према томе може бити описана као двополна или једноулазна мрежа. Упркос једноставном опису, нема границе броју подмрежа па ни комплексност и број елемената које импеданса мреже може имати. Двоелементне врсте мрежа су чест дизајн кола; филтери, на пример су често ЛЦ врсте мреже а дизајнери штампаних плоча често фаворизују РЦ врсту мреже зато што се калеми теже производе.Трансформације су једноставније и лакше се проналазе него за троелементне врсте мрежа. Једноелементне врсте мрежа се могу сматрати посебним случајем двоелемнтних врста мреже. Могуће је употребити трансформације у овом делу на неким троелементним врстама мрежа замењивањем мреже елемената за елемент Зн. Међутим, ово је ограничено за највише две импедансе које се замењују; остатак није ствар слободног избора. Све трансформационе једначине дате у овом тексту базиране су на раду Ота Зобела.

Троелемнтне мреже

Једноелементне мреже су тривијалне а двоелемнтне, двополне мреже су или два елемента у низу или два елемента паралелно везана што је такође тривијално. Најмањи број елемената који није тривијалан је три а постоје две могуће двоелементне трансформације које нису тривијалне, једна је и обрнута трансформација и тополошки дуал дуал, друге.

Опис	Мрежа	Преведена једначина	Преведена мрежа
Претварање 1.1 Претварање 1.2 је обрнуто од ове трансформације.		$p_{1}=1+m_{1}\ ,$  $p_{2}=m_{1}(1+m_{1})\ ,$  $p_{3}=(1+m_{1})^{2}\ .$
Претварање 1.2 Реверзно претварање, и топлогијски дуал, претварања 1.1.		$p_{1}={\frac {{m_{1}}^{2}}{1+m_{1}}}\ ,$  $p_{2}={\frac {m_{1}}{1+m_{1}}}\ ,$  $p_{3}=\left({\frac {m_{1}}{1+m_{1}}}\right)^{2}\ .$
Пример. Пример Претврања 1.2. Смањује величину инудкатора и има практичне предности		$m_{1}=0.5\ ,$  $p_{1}=\textstyle {\frac {1}{6}}\ ,$ $p_{2}=\textstyle {\frac {1}{3}}\ ,$ $p_{3}=\textstyle {\frac {1}{9}}\ .$

Четвороелементне мреже

Постоје 4 компликоване четвороелементне трансформације за двоелементне врсте мрежа. Две од њих су обрнуте трансформације преостале две, а две су дуали преостале две. Могуће су даље трансформације у посебном случају када је З₂ З2 иста врста елемента ко и З₁, тј. када се мрежа сведе на једноелементну мрежу. Број могућих мрежа расте како се број елемената повећава. За све унесене вредности у табели испод важи:

$q_{1}:=1+m_{1}+m_{2}\,\!$ , $q_{2}:={\sqrt {{q_{1}}^{2}-4m_{1}m_{2}}}\,\!$ , $q_{3}:={\frac {(1+m_{1})(1+m_{2})}{(m_{1}-m_{2})^{2}}}$ ,	$q_{4}:={\frac {q_{2}-q_{1}+2m_{2}}{2q_{2}}}$ , $q_{5}:={\frac {q_{2}+q_{1}-2m_{2}}{2q_{2}}}$ .

Опис	Мрежа	Преведена једначина	Преведна мрежа
Трансформ 2.1 Претварање 2.2 је обрнуто од ове трансформације. Реверзно претварање, и топлогијски дуал, претварања		$p_{1}={\frac {q_{1}+q_{2}}{2q_{5}}}\ ,$ $p_{2}={\frac {q_{1}-q_{2}}{2q_{4}}}\ ,$ $p_{3}={\frac {m_{2}}{q_{5}}}\ ,$ $p_{4}={\frac {m_{2}}{q_{4}}}\ .$
Трансформ 2.2 Трансформ 2.1 је обрнуто од ове трансформације.. Претварање2.4 је топологијскил ове трансформације.		$p_{1}={\frac {1}{q_{3}(1+m_{2})}}\ ,$ $p_{2}={\frac {m_{1}}{1+m_{1}}}\ ,$ $p_{3}={\frac {1}{q_{3}(1+m_{1})}}\ ,$ $p_{4}={\frac {m_{2}}{1+m_{2}}}\ .$
Трансформ 2.3 Трансформ 2.4 обрнуто од ове трансформације. Трансформ 2.1 је топологијскил ове трансформације.		$p_{1}={\frac {q_{4}(q_{1}+q_{2})}{2m_{2}}}\ ,$ $p_{2}={\frac {q_{5}(q_{1}-q_{2})}{2m_{2}}}\ ,$ $p_{3}=q_{4}\ ,$ $p_{4}=q_{5}\ .$
Трансформ 2.4 Трансформ 2.3 ис тхе реверсе оф тхис трансформ. Трансформ 2.2 ис тхе топологицал дуал оф тхис трансформ.		$p_{1}=1+m_{1}\ ,$ $p_{2}=m_{1}q_{3}(1+m_{1})\ ,$ $p_{3}=1+m_{2}\ ,$ $p_{4}=m_{1}q_{3}(1+m_{2})\ .$
Еxампле 2. Ан еxампле оф Трансформ 2.2.		$m_{1}=3\ ,$ $m_{2}=1\ ,$ $q_{3}=2\ ,$ $p_{1}=\textstyle {\frac {1}{4}}\ ,$ $p_{2}=\textstyle {\frac {3}{4}}\ ,$ $p_{3}=\textstyle {\frac {1}{8}}\ ,$ $p_{4}=\textstyle {\frac {1}{2}}\ .$

Двополне, н-елементне, троелементне врсте мрежа

Фиг. 1.

Једноставне мреже са само неколико елемената могу се изразити формулисањем мрежних једначина „руком“ уз примену једноставних теорема за мреже као што је Кирхофов закон. Једнакост се доказује између две мреже директно поредећи два сета једначина и изједначавањем коефицијената. За веће мреже потребније су јаче технике. Уобичајен приступ је почети изражавањем мреже импеданси у облику матрице. Овај приступ је добар само за рационалне мреже. Било која мрежа која укључује неуређене елементе као што је трансмисиона линија не може бити представљена коначном матрицом. Уопштено говорећи, н-подмрежа захтева н x н матрицу да је искаже. На пример, матрица за троподмрежну мрежу може изгледати овако:

$\mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{bmatrix}}$

Унос вредности у матрицу је одабран да би матрица формирала систем линеарних једначина подмрежних напона и струја (како је објашњено у анализи подмрежа)

$\mathbf {[V]} =\mathbf {[Z][I]}$

Пример дијаграма на Слици 1, на пример, може се исказати као матрица импедансе:

$\mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}$

а повезан систем линеарних једначина је,

${\begin{bmatrix}V_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

У већини општих случајева свака грана, З_п, мреже може се састојати од 3 елемнта тако да,

$Z_{\mathrm {p} }=sL_{\mathrm {p} }+R_{\mathrm {p} }+{1 \over sC_{\mathrm {p} }}$

где L, Р анд C представљају кондуктансу, резистансу и капацитет респективно и с је оператор комплексне фреквенције $\scriptstyle s=\sigma +i\omega$.

Ово је уобичајен начин за представљање опште импедансе али за овај текст погодније је математички изразити еластанцу D што је супротно од капацитета C. На тај начин општа импеданса гране може бити исказана,

$sZ_{\mathrm {p} }=s^{2}L_{\mathrm {p} }+sR_{\mathrm {p} }+D_{\mathrm {p} }\,\!$

Идентично, сваки унос матрице импедансе може да се састоји од збира три елемнта. Због тога матрица се може разложити на тринxн матрице, по једна за сваки од три врсте елемента;

$s\mathbf {[Z]} =s^{2}\mathbf {[L]} +s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]}$

Пожељно је да матрица [З] исказује импедансу , З(с). У ту сврху петља једне од подмрежа је пресечена и З(с) је импеданса измерена између исечених крајева. Уобичајено је претпоставити да је улаз за спољну конекцију у подмрежи 1, па је према томе повезана преко улаза матрице З₁₁, мада би било савршено могуће формулисати ово са везама било ког одабраног чвора у даљем тексту З(с) узета преко З₁₁ се сматра задатом З(с) може бити израчунат преко [З] путем;

$Z(s)={\frac {|\mathbf {Z} |}{z_{11}}}$

где з₁₁ је комплемент комплемент а З₁₁ анд |З| је детерминанта [З].

На примеру мреже горе дате;

$|\mathbf {Z} |=(R_{1}+R_{2})(R_{2}+R_{3})-{R_{2}}^{2}=R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}\ ,$

$z_{11}=Z_{22}=R_{2}+R_{3}\ ,$ анд,

$Z(s)=R_{1}+{\frac {R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}\ .$

Тачност овог резултата се може лако проверити директном методом редно повезаних отпорника и паралелно повезаних отпорника. Међутим, такви методи брзо постају заморни и гломазни како расту величина и сложеност мреже која се анализира.

Унесене вредности [Р], [L] и [D] не могу се произвољно поставити. За [З] да би довело до импедансе З(с) је [Р],[L] и [D] морају сви бити позитивно дефинисане матрице. Чак и тада реализација З(с) ће садржати идеалне трансформаторе у оквиру мреже. Проналажење само оних трансформација које не траже међусобну индукцију или идеалне трансформаторе је тежи задатак. Слично томе, ако се крене са другог краја и спецификује се израз З(с), ) ни то не може да се уради произвољно. Да би било изводљиво као рационална импеданса, З(с) мора да буде позитивно-реално. Позитивно-реални услов (ПР) је и неопходан и довољан али може бити практичних разлога за одбацивање неких топологија. топологиес.

Трансформације генералне импедансе ради проналажења еквивалентне, рационалне, једноулазне из датог примера [З] потиче од Вилхелма Кауера. Група реалних афино трансформација.

$\mathbf {[Z']} =\mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[Z]} \mathbf {[T]}$

где,

$\mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}$

је непромењиво за З(с). ). То значи да су све трансформисане мреже еквиваленти по дефиницији овде датој. Ако је З(с)за почету дату матрицу изводљиво тј испуњава ПР услове онда ће све трансформисане мреже направљене овом трансформацијом такође испуњавати ПР услове.

Трополне и четворополне мреже

Фиг. 2.Када је реч о четворополним мрежама, анализа често следи за двоулазне мреже што често покрива обиман низ практично корисних кола. Двоулазност се у основи односи на начин на који је мрежа повезана са спољним светом, тј терминали се повезују у парове за извор или улаз. Могуће је узети исту мрежу и повезати је за спољна кола, на такав начин да се она више не понаша као двоулазна. Ова идеја је приказана на слици 2.

Еквивалент небалансираних и балансираних мрежа. Тхе импеданце оф тхе сериес елементс ин тхе баланцед версион ис халф тхе цорреспондинг импеданце оф тхе унбаланцед версион.

Фиг. 3. Да би биле избалансиране, мреже морају да имају импедансу исто ,одговарајућа неуровнатежене верзије.

Трополна мрежа може такође да се користи као двоулазна да би се ово постигло један од терминала се повезује најчешће за један терминал са оба улаза. Другим речима, један терминал се дели на два терминала и мрежа се успешно претвара у четворополну мрежу. Ова топологија је позната као небалансирана топологија и супротна је од балансиране топологије. Балансирана топологија захтева, како приказује слика 3, да импеданса измерена између терминала 1 и 3 буде једнака импеданси измереној између терминала 2 и 4. Овде парови терминала не формирају улазе: случај када парови терминала формирају улазе има исту импедансу и назива се симетричним. Строго говорећи, било која мрежа која не испуни услов балансираности је небалансирана, али се термин најчешће односи на трополну топологију описану изнад и на слици 3. Трансформисање небалансиране двоулазне мреже у балансирану мрежу је најчешће једноставно: сви редно повезани елементи се деле на пола, а једна половина се преноси на заједничку грану. Трансформисање из балансиране у небалансирану топологију је често могуће уз обрнуту трансформацију, али има случајева где одређене топологије не могу бити трансформисане на овај начин. На пример, погледати текст о трансформацији решетке даље.

Пример трансформације трополне мреже није ограничен на двоулазну већ је Y-Δ трансформ. трансформација. Ово је нарочито важна трансформација за проналажење еквивалентних импеданси. Важност произилази из чињенице да укупна импеданса између два терминала не може бити одређена само рачунањем комбинација редне и паралелне везе осим у одређеним ограниченим врстама мрежа. Уопштено су потребне додатне трансформације. Y-Δ трансформација је инверзна од Δ-Y трансформације, и н-поларна аналогна у односу на ове две трансформације (звезда-полигон трансформација) и представља минимум додатних трансформација потребних да се реши општи случај. Редни и паралелни елементи су у ствари двополне верзије звезде и полигонске топологије. Уобичајена, једноставна топологија која не може бити решена редним и паралелним комбинацијама је инпут импедансе до мреже мост (осим у посебном случају када је мост у равнотежи) остатак трансформација у овом делу текста су све ограничене на употребу само два улаза.

Трансформација решетке

Симетричне двоулазне мреже могу бити трансфоримсане у мреже у облику решетки користећи Бартлетову теорему расецања. Метода се ограничава на симетричне мреже али укључује многе топологије које се често проналазе у филтерима, регулаторима појачања и еквилизери. Топологија решетке је унутрашње балансирана, нема небалансираних дупликата решетке и најчешће јој је потребно више компоненти од трансформисане мреже.

Соме цоммон нетwоркс трансформед то латтицес (X-нетwоркс)
Опис	Мрежа	Преведена једнаћина	Преведена мрежа
Трансформ 3.1 Трансформ оф Т нетwорк то латтице нетwорк.		$Z_{\mathrm {A} }=Z_{1}\ ,\!$ $Z_{\mathrm {B} }=Z_{1}+2Z_{2}\ .\!$
Трансформ 3.2 Трансформ оф Π нетwорк то латтице нетwорк.		$Z_{\mathrm {A} }={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+2Z_{2}}}\ ,\!$ $Z_{\mathrm {B} }=Z_{2}\ .$
Трансформ 3.3 Трансформ оф Бридгед-Т нетwорк то латтице нетwорк.		$Z_{\mathrm {A} }={\frac {Z_{1}Z_{0}}{Z_{1}+2Z_{0}}}\ ,\!$ $Z_{\mathrm {B} }=Z_{0}+2Z_{2}\ .\!$

Обрнуте трансформације из решетке у небалансирану топологију нису увек могуће што се тиче пасивних компненти. На пример ова трансформација,

Опис	Мрежа	Преведена мрежа
Трансформ 3.4 Трансформ оф а латтице пхасе еqуалисер то а Т нетwорк.

се не може реализовати са пасивним компонентама због негативних вредности које проистичу из трансформисаног кола. То се, међутим, може реализовати ако су дозвољени међусобна индукција и идеални трансформатори, на пример у овом колу. Још једна могућност је да се дозволи употреба активних компоненти које би омогућиле да се негативне импедансе директно реализују као компоненте кола.

Понекад може бити корисно направити овакву трансформацију не за сврху стварног прављења трансформисаног кола већ пре за сврху помагања при схватању како оригинално коло ради. Следеће коло у Т топологији моста је модификација средње вредности повезаном м – изведеног филтера Т- одељка. Коло је резултат рада Хендрика Бодеа који је тврдио да додавање отпорника моста одговарајуће вредности може да поништи паразитски отпор паралелног калема. Рад овог кола је јасан ако се трансформише у Т топологију – у овом облику постоји негативан отпор у паралелној грани који се може довести до тога да буде тачно једнак позитивном паразитском отпору калема. .

Опис	Мрежа	Преведена мрежа
Трансформ 3.5 Трансформ оф а бридгед-Т лоw-пасс филтер сецтион то а Т-сецтион.

Било која симетрична мрежа се може трансформисати у било коју другу симетричну мрежу истим методом тј прво се трансформише у форму средње решетке (која није представљена у горњем примеру трансформације да би се избегла забуна) и из облика решетке се прелази у циљни облик. Као у примеру , ово ће довести до негативних елемената осим у посебним случајевима.

Елиминисање отпорника

Сидни Дарлингтонова теорема каже да било која ПР функција З(с) може бити реализована двоулазна са позитивним отпорникмом Р без губитка. То значи да без обзира на то колико отпорника приказује у матрици [З] представљајући импедансу мреже, трансформација може да се пронађе која ће да реализује мрежу у потпуности као ЛЦ врсту мреже са само једним отпорником преко аутпут излаза (што би иначе представљало унос). Ни један отпорник у оквиру мреже није неопходан да би се реализовао одређени одговор. Према томе увек је могуће смањити троелементне, двоулазне мреже у двоелемнтне (ЛЦ) двоулазне мреже под условом да аутпут излаз је елиминисан отпором одговарајуће вредности.

Елиминисање идеалних трансформатора

Основна трансформација се може обавити са идеалним трансформаторима и другим елементима импедансе померањем импедансе на другу страну трансформера. У свим следећим трансформацијама р је обртни однос трансформатора.

Опис	Мрежа	Преведена мрежа
Трансформ 4.1 Сериес импеданце тхроугх а степ-доwн трансформер.
Трансформ 4.2 Схунт импеданце тхроугх а степ-доwн трансформер.
Трансформ 4.3 Схунт анд сериес импеданце нетwорк тхроугх а степ-уп трансформер.

Ове трансформације се не примењују само на појединачне елементе; целе мреже могу да прођу кроз трансформер. На овај начин, трансформер се може кретати кроз мрежу на одговарајућу локацију. Дарлингтон даје еквивалентну трансформацију која може и да потпуно елиминише идеални трансформатор. Ова техника захтева да је трансформатор близу (или да може да буде померен до) “Л“ мреже исте врсте импедансе. Трансформација у свим варијантама доводи до “Л“ мреже која се окреће на супротну страну тј тополошки гледано као одраз у огледалу. .

Опис	Мрежа	Преведена мрежа
Трансформ 5.1 Елиминатион оф а степ-доwн трансформер.
Трансформ 5.2 Елиминатион оф а степ-уп трансформер.
Еxампле 3. Еxампле оф трансформ 5.1.

Пример 3 показује да је резултат Π - мрежа а не L мрежа. Разлог томе је што паралелни елемент има већи електрични капацитет него што је потребно за трансформацију па нешто преостаје после примене трансформације. Ако је вишак уместо тога у елементу најближем трансформатору, ово би се могло решити премештањем вишка на другу страну трансформатора пре вршења трансформације..

Литература

• Albert Charles Bartlett, "An extension of a property of artificial lines", Phil. Mag., vol 4, p.902, November 1927.
• Vitold Belevitch, "Summary of the history of circuit theory", Proceedings of the IRE, vol 50, Iss 5, pp.848-855, May 1962.
• E. Cauer, W. Mathis, and R. Pauli, "Life and Work of Wilhelm Cauer (1900 – 1945)", Proceedings of the Fourteenth International Symposium of Mathematical Theory of Networks and Systems, Perpignan, June, 2000.
• Foster, Ronald M.; George Ashley Campbell, "Maximum output networks for telephone substation and repeater circuits", Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, vol.39, iss.1, pp.230-290, January 1920.
• Sidney Darlington, "A history of network synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors", IEEE Trans. Circuits and Systems, vol 31, pp.3-13, 1984.
• Farago, P. S., An Introduction to Linear Network Analysis, The English Universities Press Ltd, 1961.
• Otto Julius Zobel, Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters, Bell Systems Technical Journal, Vol. 2 (1923), pp.1-46.