Формула пертле

Формула пертле, или алгоритам претле, је математицки алгоритам који се користи за израчунавање површине једноставног многоугла чија темена су одређена уређеним паром у равни. Укрштеним множењем одговарајућих координата добија се поврсина која обухвата многоугао, и одузме је од многоугла који га окрузује да би се одредила површина многоугла унутра. Зове се формула пертле због констаног укрштеног множења за координате које састављају многоугао, као везање пертле. Понекад се зове и метод пертла. Такође, позната је и као Гаусова површинска формула, по Карл Фридрих Гаусу. Користи се у геометрији и шумарству, између осталих области. Такође је позната и као геометрова формула.

Формула се мозе приказати на следећи начин:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}y_{i+1}+x_{n}y_{1}-\sum _{i=1}^{n-1}x_{i+1}y_{i}-x_{1}y_{n}{\Big |}\\&={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots +x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\cdots -x_{n}y_{n-1}-x_{1}y_{n}|\\\end{aligned}}$

где

• А је површина многоугла,
• н је број страница многоугла, анд
• (x_и, y_и), и = 1, 2,..., н су темена многоугла.

Алтернативно:

$\mathbf {A} ={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1}){\Big |}={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i+1}-x_{i-1}){\Big |}={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}{\Big |}={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{pmatrix}}{\Big |}$

где x_н+1 = x₁ и x₀ = x_н, односно y_н+1 = y₁ и y₀ = y_н.

Ако су тачке означене супротно од смера казаљки на сату, онда изнад детерминанте су позитивне и абсолутне заграде могу бити изостављене; Ако су тачке означене у смеру казаљки на сату, детерминанте ће бити негативне. Ово је зато што се формула може гледати као посебан случај Гринове теореме.

Примери

Морају бити познате тачке у Картезијановој равни. На пример, гледамо троугао са координатама {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Узмемо прву x-вредност и помнозимо је са другом y-вредношћу, онда узмемо другу x-вредност и помнозимо је са трецом y-вредношћу, и поновимо, и опет поновимо, док не урадимо то за сваку тачку. Ово се може дефинисати формулом:

$\mathbf {A} _{\text{tri.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|$

где x_и и y_и представљају вредности за респективне координате. Ова формула је само проширање оне која је дата горе за случај н = 3. Коришћењем ње, може се видети да је површина троугла једнака половини апсолутне вредности од 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, што је једнако 3. Број варијабла зависи од броја стрница многоугла. На пример, петоугао ће бити дефинисан до x₅ анд y₅:

$\mathbf {A} _{\text{pent.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|$

Четвороугао ће бити дефинисан до x₄ анд y₄:

$\mathbf {A} _{\text{quad.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4}|$

Комплекснији примери

Посматрамо многоугао дефинисан тачкама (3,4), (5,11), (12,8), (9,5), анд (5,6), и илустровам у следећем диаграму:

Површина овог многоугла је:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}|3\times 11+5\times 8+12\times 5+9\times 6+5\times 4\\&{}\qquad {}-4\times 5-11\times 12-8\times 9-5\times 5-6\times 3|\\[10pt]&={60 \over 2}=30\end{aligned}}$

Објашњење имена

Разлог зашто се ова формула зове формула пертле је због честог начина који се користи за њено израчунавање. Овај начин користи матрице. Као пример, гледамо троугао са теменима (2,4), (3,−8), анд (1,2). Онда конструишемо следећу матрицу тако што “ходамо око” троугла и заврћавамо са почетном тачком.

${\begin{bmatrix}2&4\\3&-8\\1&2\\2&4\end{bmatrix}}$

Прво, нацртамо дијагонално доле и ка десно (као што је приказано),

  

и помножимо два броја повезана дијагоналом, а онда додамо све производе: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6. Урадимо исто са дијагоналама ка доле и лево (приказано доле са претходним дијагоналама):

  

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8. Онда, одузмемо ова два броја и узмемо апсолутну вредност разлике: |−6 − 8| = 14. Када поделимо ово са 2 добијемо површину: 7. Овакво организовање бројева чини формулу лакшом за памћење и процењивање. Са свим нацртаним дијагоналама, матрица личи на ципелу са пертлама, што је довело до оваквог имена.