Пројекција (математика)

Пројекција, као математички појам, је придрузивање скупа (или математичке структуре) у подскуп (или математичку подструктуру). Поједностављени, свакодневни пример пројекције можемо наћи када посматрамо сенку неког објекта која пада на неку раван. Пројекција неке тачке може се, условно, схватити као сенка те тачке на неку раван, на пример раван папира. Сенка, која преставља пројекцују једне тачке на раван папира, је једна тачка (идемпотенција). Сенка тридимензионалне сфере је један попуњеа елипса. Првобитно, појам пројекције је уведен да би се означило пресликавање тродимензијалног Еуклидског простора на раван, као у примеру са сенкама. Постоје две врсте пројекције ове врсте:

Централна пројекција-пројекција из једне централне тачке на једну раван. Центар пројекције је тачка C. Пројекција тачке П, која је различита од тачке C , на неку раван , која не садржи тачку C, је пресек праве ЦП и те равни. Уколико је тачка П таква да је права ЦП паралелна са равни пројектовња , онда тачка П не може се пројектовати на ту раван. У таквим ситуацијама често се каже да се тачка П пројектује у бесконачно далеку тачку равни пројектовања (видети нацртна геометрија ,за прецизније објашњење). Пројекција саме тачке C није дефинисана.

Паралелна пројекција-пројекција паралелна са правцем D на једну раван. Пројекција тачке П на дату раван је пресек те равни и праве која је паралелна са правцем D и пролази кроз тачку П. Погледајте Афин простор и пројекције за тацне дефиниције и уопстење за било коју димензију.

Прва сазнања о пројекцији су веома стара, углавном имају своје корене у феномену падања сенке реалних објеката на Земљину површину. Ова првоитна идеја је дорађена и апстрахована, прво у контексту геомерије а касније и у осталим гранама математике. Током времена развиле су се разлиците верзије ове идеје , али данас у веома апстрактним скуповима ове разлиците идеје се могу објединити.
У картографији мапа, пројекција је мапа дела Земљине површине на раван, која у неким случајевима, али не увек, преставља рестрикцију пројекције у значењу које смо напред навели. 3Д пројекције су у основи теорије перспективе. Потреба да се уједине две врсте пројекција и да се дефинише слика било које тачке која је различита од центра пројекције су разлог настанка пројективне геометрије. Међутим, пројективна трансформација је бијекција простора пројекције , и особине ове функције нису исте као и као и пројекције о којој говоримо у овом чланку.

Дефиниција уреди

Пројекција Π универзална за свако придрузивање ф и сваки скуп X

У апстрактном скупу моземо да кажемо да је пројекција придруживање скупа (или друге математичке структуре) које је идемпотенција, што значи да када се пројекција компнује сама са собом опет се добије пројекција. Када кажемо да се пројекција компонује сама са собом , ту мислимо на слагање функција, тј помножимо пројекцију саму са собом и опет добијемо пројекцију. Пројекција такођер, може да се односи на функцију која има инверзну функцију са десне стране. Оба значења су веома повезана. Нека је п једна идемпотентна функција скупа А у тај исти скуп А (То значи да је пοп=п) . Ако означимо са Π пресликавање из скупа А у скуп Б и са ί ињективно пресликавање из скупа Б у скуп А, онда имамо да је Ποί=Ид_Б , тј да је Ποί идемпотенција.

Примена уреди

Првобитно значење пројекције је проширено или генерализовано на друге разме математичке појаве. Најчешће, али не и увек, пројекција се повезује са геометријом.

Ортогонална пројекција

У теорији скупова

Посматрајмо Декартов поизвод скупова X₁× X₂× ...× X_н и један елемент x=(x₁,x₂,...,x_н) који припада том Декартовом производу. Са прој _ј(x)=x_ј ознацавамо ј-ту пројекцију поцетног Декартовог скупа на скуп X_ј. Ово пресликавње је увек сирјективно.
Пресликавање којим се издваја један елемент из његове класе еквиваленције унутар дате релације еквиваленције је каноницко пројектовње

Код релационе базе података Р и језика са упитима, пројекција је унарна операција која је записана као Π _{(а₁,а₂,...,а_н)}(Р) при чему је а₁,а₂,...,а_н скуп атрибута именице. Резултат такве пројекције се добија када се све секвенце атрибута релације Р рестриктује на на скуп {а₁,а₂,...,а_н}. Р је релациона база података.
У сферној геометрији пројекцију сфере на раван користо је Птолемеј(~150) у његовом Планисфаријуму (Мапа звезда). Метода је названа стереографска пројекција и користи се тангентна раван на сферу и пол C, тачка која је дијаметрално супротна тачки у којој тангентна раван додирује сферу. Било која тачка П на сфери, која је различита од тачке C, одређује праву ПЦ, Та права сече тангентну раван у тачки која преставља пројекцију тачке П. Хемисфера се често пројектује на сферу коришћењем гномоничке пројекције.

Птолемејева Географија око 1467 г

У линеарној алгебри, оператор који остаје не промењен ако се примени двапута (п(у)=п(п(у))), другим речима то је идемпотентни оператор. На пример придруживање које тродимензијалној тачки (x,y,з) придружује тачку у равни (x,y,0) је пројекција. Ова врста пројекције се природно генерализује тј. уопштава на било који н-димензонални простор у било који к-димензинални простор, к<н. Погледајте ортогоналну пројекцију у линеарној алгебри.
Скаларна пројекција или скаларни производ једног вектора на други
У теорији категорија претходно значење Декартовог производа скупова може бити уопштено на било коју привољну категорију. Пријекција добија различита значења у различитим категоријама.