Тевененова теорема

Тевененова теорема илуструје следеће тврдње о електричним колима:

• Свака линеарна електрична мрежа са напонским и струјним извором и само отпорницима може да се замени на прикључцима А-Б еквивалентном отпорношћу Р_тх која је повезана редно.
• Овај еквивалентан напон V_тх је напон који се добија на прикључцима А-Б електричног кола уколико они нису повезани на друге изворе или потрошаче.
• Овај еквивалентан отпор Р_тх је отпор који се добија на прикључцима А-Б електричног кола, тако што се сви струјни извори оставе неповезаним а сви напонски извори представе кратким спојем.

За наизменична кола, теорема може да се користи за реактивну снагу, импедансу и резистансе.

До теореме су независно дошли немачки научник Херман фон Хелмхолц 1853, године и 1883, године Леон Шарл Тевенен, инжењер електротехнике заједно са Француском националном телеграфском организацијом.

Тевененова теорема и њој слична Нортонова теорема, се често користе у анализи електричних кола како би се иста упростила, као и за проучавање почетних стања и одзива на промене. Тевененова теорема може да се користи како би се претворило било које електрично коло са својим изворима и импедансама у Тевененов генератор. Коришћење ове теореме може бити у неким случајевима много погодније од Кирхофових закона.

Било која црна кутија која садржи само отпорнике и напонске и струјне изворе може да се замени Тевененовим еквивалентним електричним колом које се састоји од еквивалентног напонског извора повезаног редно са еквивалентном отпорношћу.

Израчунавање Тевененовог еквивалентног електричног кола

Да би се израчунало еквивалентно електрично коло, потребни су отпори и напони, тако да су потребне две једначине. До ових једначина се уобичајени долази пратећи следеће кораке, али је могуће до истих доћи и другим стањима која се примене на прикључке електричног кола.

1. Израчунати излазни напон, V_АБ, где је услов да на прикључке кола не делује никакав спољни отпор (отворено коло). Ово је напон V_Тх.
2. Израчунати излазну струју, I_АБ, када су прикључци кола повезани кратким спојем (отпор 0). Р_Тх је једнако V_Тх подељеном са израчунатом струјом I_АБ.

Еквивалентно електрично коло је напонски извор са напоном V_Тх повезан редно са отпором Р_Тх.

О кораку 2 може да се размишља и другачије:

2а. Заменити независне напонске изворе кратким спојем, и независне струјне изворе отвореним колом.

2б. Израчунати отпор између прикључака А и Б. Ово је отпор Р_Тх.

Тевененов еквивалентни напонски извор је напон на излазним прикључцима оригиналног електричног кола. Када се рачуна напон Тевененовог еквивалентног напонског извора, често се користи принцип напонског разделника, тако што се један терминал проглашава за V_оут, а други се проглашава за нулти потенцијал.

Тевененова еквивалентна отпорност је отпор који се мери између прикључака А и Б електричног кола. Важно је прво заменити све напонске и струјне изворе њиховим унутрашњим отпорностима. За идеалне напонске изворе ово значи да се мењају са отпором 0, тј. кратким спојем. За идеалне струјне изворе ово значи да их је потребно заменити са отвореним колом (бесконачно велики отпор). Тада је могуће израчунати отпор на прикључцима кола користећи формуле за редну и паралелну везу. Ова метода је исправна само за електрична кола са независним изворима. Ако постоје зависни извори у колу, потребно је користити другу методу као нпр. повезивање тестног извора на прикључке А и Б и израчунавање напона на тесном извору или струје која кроз њега пролази.

Пример

Корак 0: Оригинално електрично коло

Корак 1: Израчунавање еквивалентног напонског генератора

Корак 2: Израчунавање еквивалентне отпорности

Корак 3: Еквивалентно електрично коло

У примеру, израчунава се еквивалентни напон:

$V_{\mathrm {Th} }={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }$

$={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V}$

$={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V}$

(приметити да Р₁ није узет у разматрање, зато што су горње једначине рачунате у стању отвореног кола између прикључака А и Б, тако да никаква струја не пролази кроз овај део кола, што значи да струја не пролази ни кроз отпорник Р₁ а самим тим не постоји пад напона на овој компоненти)

Израчунавање еквивалентне отпорности:

$R_{\mathrm {Th} }=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]$

$=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]$

$=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .$

Конверзија у Нортоново еквивалентно електрично коло

Нортонова теорема је повезана са Тевененовом на следећи начин:

$R_{\mathrm {Th} }=R_{\mathrm {No} }\!$

$V_{\mathrm {Th} }=I_{\mathrm {No} }R_{\mathrm {No} }\!$

$I_{\mathrm {No} }=V_{\mathrm {Th} }/R_{\mathrm {Th} }.\!$

Практична ограничења

• Многа, ако не и сва електрична кола су линеарна само за скуп одређених вредности , тако да је Тевененово еквивалентно електрично коло исправно само на овом линеарном подручју али не и изван њега.
• Тевененово еквивалентно електрично коло има еквиваленту струјно напонску карактеристику само са становиштва неког оптерећења на коло.
• Дисипирана снага еквивалентног Тевененовог електричног кола не мора да одговара дисипацији стварног електричног кола. Али снага која се дисипира у виду топлоте са спољно повезаног отпорника на прикључке кола је иста независно од топологије оригиналног електричног кола.

Доказ теореме

Доказ се састоји из два корака. Прво користити теорему суперпозиције да би се дошло до решења, а затим користити теорему јединствености, да би се показало да је решење јединствено. Други корак се углавном подразумева. Прво, користећи теорему суперпозиције, уопштено за сваку електрично коло у облику "црне кутије" које садржи напонске изворе и отпорнике,записати напоне као линеарну функцију од одговарајућих струја

$V=V_{\mathrm {Eq} }-Z_{\mathrm {Eq} }I\!$

где први члан одражава линеарну суму доприноса од сваког напонског извора, док други члан представља меру свих доприноса отпорника. Аргумент изнад настаје из разлога што је напон црне кутије за задату струју $I$ идентичан линеарној суперпозицији решења следећих проблема: (1)Оставити црну кутију неповезаном и укључивати један по један напонски извор, (2) Направити кратак спој свих напонских извора, али напајати коло неким идеалним напонским извором тако да је резултујућа струја једнака тачно $I$ (или идеалним струјним извором струје $I$). Када се напише горњи израз, лако је показати да су $V_{\mathrm {Eq} }$ и $Z_{\mathrm {Eq} }$ једини напонски извор и отпорник који се разматрају.

Види још

• Кирхофови закони
• Омов закон
• Нортонова теорема

Литература

• Јавид, Мансоур; Бреннер, Егон (1959). „Цхаптер 12 - Нетwорк Фунцтионс”. Аналyсис оф Елецтриц Цирцуитс. МцГраw-Хилл. стр. 268—269. 
• Бриттаин, Ј.Е. (1990). „Тхевенин'с тхеорем”. ИЕЕЕ Спецтрум. 27 (3): 42. дои:10.1109/6.48845. Приступљено 1. 2. 2013. 
• Дорф, Рицхард C.; Свобода, Јамес А. (2010). „Цхаптер 5 - Цирцуит Тхеоремс”. Интродуцтион то Елецтриц Цирцуитс (8тх изд.). Хобокен, Њ: Јохн Wилеy & Сонс. стр. 162—207. ИСБН 978-0-470-52157-1. Архивирано из оригинала 30. 04. 2012. г. Приступљено 10. 11. 2013. 
• Дwигхт, Херберт Б. (1949). „Сец. 2 - Елецтриц анд Магнетиц Цирцуитс”. Ур.: Кноwлтон, А.Е. Стандард Хандбоок фор Елецтрицал Енгинеерс (8тх изд.). МцГраw-Хилл. стр. 26. 
• Елгерд, Олле I. (2007). „Цхаптер 10, Енергy Сyстем Трансиентс - Сурге Пхеномена анд Сyмметрицал Фаулт Аналyсис”. Елецтриц Енергy Сyстемс Тхеорy: Ан Интродуцтион. Тата МцГраw-Хилл. стр. 402—429. ИСБН 978-0070192300. 
• Хелмхотз, Х. (1853). „Üбер еиниге Гесетзе дер Вертхеилунг електрисцхер Стрöме ин кöрперлицхен Леитерн мит Анwендунг ауф дие тхиерисцх-електрисцхен Версуцхе (Соме лаwс цонцернинг тхе дистрибутион оф елецтрицал цуррентс ин цондуцторс wитх апплицатионс то еxпериментс он анимал елецтрицитy)”. Аннален дер Пхyсик унд Цхемие. 89 (6): 211—233. 
• Јохнсон, D.Х. (2003а). „Оригинс оф тхе еqуивалент цирцуит цонцепт: тхе волтаге-соурце еqуивалент” (ПДФ). Процеедингс оф тхе ИЕЕЕ. 91 (4): 636—640. дои:10.1109/ЈПРОЦ.2003.811716. 
• Јохнсон, D.Х. (2003б). „Оригинс оф тхе еqуивалент цирцуит цонцепт: тхе цуррент-соурце еqуивалент” (ПДФ). Процеедингс оф тхе ИЕЕЕ. 91 (5): 817—821. дои:10.1109/ЈПРОЦ.2003.811795. 
• Тхéвенин, L. (1883а). „Еxтенсион де ла лои д’Охм ауx цирцуитс éлецтромотеурс цомплеxес (Еxтенсион оф Охм’с лаw то цомплеx елецтромотиве цирцуитс)”. Анналес Тéлéграпхиqуес. 3^е сериес. 10: 222—224. 
• Тхéвенин, L. (1883б). „Сур ун ноувеау тхéорèме д'éлецтрицитé дyнамиqуе (Он а неw тхеорем оф дyнамиц елецтрицитy)”. Цомптес рендус хебдомадаирес дес сéанцес де л'Ацадéмие дес Сциенцес. 97: 159—161. 
• Wеннер, Ф. (1926). „"Сци. Папер С531, А принципле говернинг тхе дистрибутион оф цуррент ин сyстемс оф линеар цондуцторс"”. Wасхингтон, D.C.: Буреау оф Стандардс. 

Спољашње везе

• Thevenin's theorem at allaboutcircuits.com
• Filter-Order Filters: Shortcut via Thévenin Equivalent Source