Википедија

Aksiomatski sistem

U matematici, aksiomatski sistem je bilo koji skup aksioma iz kojih se neke ili sve aksiome mogu koristiti u vezi sa logičkim izvođenjem teorema. Matematička teorija se sastoji od aksiomatskog sistema i svih izvedenih teorema. Aksiomatski sistem koji je u potpunosti opisan je poseban oblik formalnog sistema. Formalna teorija tipično znači aksiomatski sistem, na primer formulisan unutar teorije modela. Formalni dokaz je kompletno izvođenje matematičkog dokaza unutar formalnog sistema.


Osobine uredi

Aksiomatski sistem mora da bude:

  • Neprotivurečan
  • Nezavisan
  • Potpun
  • Kaže se da je aksiomatski sistem neprotivurečan ako nema kontradikciju, tj. mogućnost izvođenja i izjave i njegovog poricanja od aksiomatskog sistema.
  • U aksiomatskom sistemu, aksiom se naziva nezavisnim ako nije teorema koja se može izvesti iz drugih aksioma u sistemu. Sistem će se nazvati nezavisnim ako je svaki od njenih osnovnih aksioma nezavisan. Iako nezavisnost nije neophodan uslov za sistem, kneprotivurečnost jeste.
  • Aksiomatski sistem će se nazvati potpunim ako je za svaku izjavu ili sama ili njegova negacija izvodljiva.


Modeli uredi

Model za aksiomatski sistem je dobro definisan skup, koji dodeljuje značenje nedefinisanim terminima predstavljenim u sistemu, na način koji je tačan sa odnosima definisanim u sistemu. Postojanje konkretnog modela dokazuje konzistentnost sistema. Model se naziva konkretnim ako su značenja koja su dodeljena objektima i relacijama iz stvarnog sveta, za razliku od apstraktnog modela zasnovanog na drugim aksiomatskim sistemima. Modeli se takođe mogu koristiti za prikaz nezavisnosti aksioma u sistemu. Izradom validnog modela za podsistem bez specifične aksioma, pokazujemo da je izostavljena aksioma nezavisna ako njena ispravnost ne mora nužno pratiti iz podsistema. Za dva modela se tvrdi da su izomorfna ako se jedna-na-jedna korespondencija može pronaći između njihovih elemenata, na način koji čuva njihov odnos. Aksiomatski sistem za koji je svaki model izomorfan drugom se zove kategorijalni (ponekad kategoričan), a svojstvo kategoričnosti (kategoričnost) osigurava potpunost sistema.


Istorija uredi

Matematičke metode razvijene su do određenog stepena sofisticiranosti u drevnom Egiptu, Vavilonu, Indiji i Kini, očigledno bez upotrebe aksiomatske metode. Euklid je autor najranije aksiomatske prezentacije euklidske geometrije i teorije brojeva. Mnogi aksiomatski sistemi razvijeni su u devetnaestom veku, uključujući ne-euklidsku geometriju, temelje stvarne analize, Kantorovu teoriju setova, Fregeov rad na temelju i Hilbertovu "novu" upotrebu aksiomatske metode kao istraživačkog alata. Na primer, grupa teorija je prvo stavljena na aksiomatsku osnovu krajem tog veka. Jednom kada se aksiomi razjasne (na primer, da se zahtevaju inverzni elementi), subjekt bi mogao da nastavi autonomno, bez obzira na poreklo grupa transformacije tih studija.

U geometriji uredi

Euklid je prvi uveo aksiomatski sistem u geometriju negde oko 300. godine pre nove ere, dok je tek Hilbert, krajem 19. veka potpuno aksiomatizovao. Hilbertov aksiomatski sistem je primer dobro uređenog aksiomatskog sistema. Sastoji se od pet grupa aksioma. Prve četiri grupe čine apsolutnu geometriju.

Prva grupa aksioma uredi

Prvu grupu aksioma čine aksiome poretka i one glase:

  • I1: Svaka prava sadrži najmanje dve razne tačke.
  • I2: Postoji najmanje jedna prava koja sadrži dve tačke.
  • I3: Postoji najviše jedna prava koja sadrži dve razne tačke.
  • I4: Svaka ravan sadrži najmanje tri nekolinearne tačke.
  • I5: Postoji najmanje jedna ravan koja sadrži tri tačke.
  • I6: Postoji najviše jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke.
  • I7: Ako dve razne tačke neke prave pripadaju jednoj ravni, onda svaka tačka te prave pripada istoj ravni.
  • I8. Ako dve razne ravni imaju jednu zajedničku tačku, onda one imaju najmanje još jednu zajedničku tačku.
  • I9. Postoje četiriri nekoplanarne tačke.

Druga grupa aksioma uredi

Drugu grupu aksioma čine aksiome rasporeda:

  • II1:Ako je B(A,B,C), tada su A,B,C tri razne kolinearne tačke.
  • II2:Ako je B(A,B,C), tada je B(C,В,А).
  • II3:Ako je B(A,B,C), tada nije B(В,А,С).
  • II4:Ako su А, В i С tri razne kolinearne tačke, tada je B(A,B,C), ili B(В,А,С), ili B(А,С,В).
  • II5:Ako su А, В dve razne tačke, tada postoji tačka С, takva da je B(A,B,C).
  • II6:Ako su А, В i С tri razne nekolinearne tačke i p prava koja pripada ravni АВС, ne sadrži tačku А i seče pravu ВС u tački Р takvoj da je В(В,Р,С), tada prava p seče pravu АС u tački Q takvoj da je B(С,Q,А)., ili pravuАВ u tački R, takvoj da jeB(В,R,А).

Treća grupa aksioma uredi

Treću grupu aksioma čine aksiome podudarnosti:

  • III1:Ako su А, B, C, D tačke takve da je (A,B)≅(C,D) i А = В, tada je i C = D.
  • III2:Ako su A i В dve razne tačke, tada je (А,В)≅(В,А).
  • III3:Ako su A ,В,C,D,E,F tačke takve da (А,В)≅(C,D) i (А,В)≅(E,F), tada je (C,D)≅(E,F).
  • III4:Ako su С i С' tačke dveju otvorenih duži АВ i А'В', takve da je (А,С)≅(А',С') i (B,C)≅(B',C'), tada je i (A,B)≅(А',В').
  • III5:Ako su A i В dve razne tačke i tačka С teme neke poluprave, tada na toj polupravoj postoji tačka D takva da je (A,B)≅(С,D)
  • III6:Ako su A, B, C tri nekolinearne tačke i A', B' tačke ruba neke poluravni, takve da je (A,B) ≅ ( A',B'), tada u toj poluravni postoji jedinstvena tačka C' takva da je (A,C) ≅ (A',C') i (B,C) ≅ (B',C').
  • III7:Ako su A, B, C i A', B', C' dve trojke nekolinearnih tačaka i D i D' tačke polupravih BC i B'C', takve da je (A,B)≅( A',B'),

(B,C) ≅ (B',C'), (C,A) ≅ (C',A') i (B,D) ≅ (B',D'), tada je i (A,D) ≅ (A',D').

Četvrta grupa aksioma uredi

Četvrtu grupu aksioma čine aksiome neprekidnosti:

  • IV1(Arhimed-Eudoksova aksioma): Ako su AB i CD dve proizvoljne duži, tada na polupravoj АВ postoji konačan niz tačaka A1, A2, A3 ... Аn, takvih da je B(A1,А2,А3...,Аn), pri čemu je svaka od duži A1A2, A2A3... podudarna duži CD i važi B(A,B,An).
  • IV2(Kantorova aksioma):Ako je A1В1,А2В2,А3В3...АnBn...niz zatvorenih duži neke prave, takvih da svaka od tih duži sadrži sledeću, tada postoji tačka Х takva da pripada svakoj duži tog niza.[1]

Aksioma paralelnosti uredi

  • VЕ: Postoje prava p i tačka A van te prave, takve da u njima određenoj ravni ne postoji više od jedne prave koja sadrži tačku A i nema zajedničkih tačaka sa pravom p.[2]
  • VL:Postoje prava p i tačka A van te prave, takve da u njima određenoj ravni postoji više od jedne prave koja sadrži tačku A i nema zajedničkih tačaka sa pravom p.[2]

Aksioma VЕ naziva se Peti Euklidov postulat i ona pridružena sa Apsolutnom geometrijom daje Euklidsku geometriju, a pridruživanjem aksiome Lobačevskog apsolutnoj geometriji dobijamo Hiperboličku geometriju.

Reference uredi

  1. ^ Lučić, Zoran (1997). Euklidska i Hiperbolička geometrija. total design i matematički fakultet. 
  2. ^ a b Lopandić, Dragomir. Geometrija (2011 izd.). Beograd: Zavod za udžbenike. 

Spoljašnje veze uredi

Preuzeto iz „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Аксиоматски_систем&oldid=27366213”