Aksioma izbora

U matematici, aksioma izbora, ili AI, je aksioma teorije skupova. Neformalno rečeno, aksioma tvrdi da je za bilo koju datu grupu posuda, od kojih se u svakoj nalazi najmanje po jedan predmet, moguće izabrati po tačno jedan predmet iz svake posude, čak i ako postoji beskonačno mnogo posuda i nema pravila koje govori koji predmet da se uzme iz svake. Aksioma izbora nije neophodna ako je broj posuda konačan, ili ako je zadato takvo pravilo.

Aksiomu izbora je 1904. godine formulisao Ernst Zermelo. Iako je u početku bila kontroverzna, danas je većina matematičara koristi bez rezervi. Jedan od razloga što je prihvaćena jeste veliki broj važnih matematičkih rezultata, kao što je teorema Tihonova, zahtevaju aksiomu izbora u svojim dokazima. Savremeni teoretičari skupova takođe proučavaju aksiome koje nisu kompatibilne sa aksiomom izbora, kao što je aksioma određenosti. Za razliku od aksiome izbora, ove alternative obično nisu iskazane kao aksiome matematike, već samo kao principi u teoriji skupova, sa interesantnim posledicama.

Iskaz

Funkcija izbora je funkcija f, definisana na kolekciji X nepraznih skupova, takva da za svaki skup s iz X, f(s) je element iz s. Pomoću ovog koncepta, aksioma može da se iskaže na sledeći način:

Za svaki skup nepraznih skupova, X, postoji funkcija izbora f, definisana na X.

Stoga, negacija aksiome glasi da postoji skup nepraznih podskupova koji nema funkciju izbora.

Svaka funkcija izbora nad kolekcijom X nepraznih skupova se može posmatrati kao (ili identifikovati sa) elementom Dekartovog proizvoda skupova iz X. Ovo dovodi do iskaza koji je ekvivalentan aksiomi izbora:

Proizvoljan Dekartov proizvod nepraznih skupova je neprazan.

Varijante

Postoje mnoge varijante drugih ekvivalentnih iskaza aksiome izbora. Oni su ekvivalentni u smislu da, u prisustvu ostalih osnovnih aksioma teorije skupova, oni impliciraju aksiomu izbora, i aksioma izbora implicira njih.

Jedna varijanta izbegava korišćenje funkcije izbora, zamenivši svaku funkciju izbora svojim opsegom.

Ako je dat bilo koji skup X, u paru disjunktnih nepraznih skupova, postoji najmanje jedan skup C koji sadrži tačno po jedan zajednički element sa sa svakim od skupova iz X.

Još jedna ekvivalentna aksioma posmatra samo kolekcije X koje su u biti partitivni skupovi drugih skupova:

Za svaki skup A, partitivni skup od A (minus prazan skup) ima funkciju izbora.

Neki autori koji koriste ovu formulaciju često govore o funkciji izbora nad A, ali treba imati u vidu da je ovo malo drugačiji pojam od pojma funkcije izbora. Njen domen je partitivni skup od A (minus prazan skup), pa stoga ima smisla za svaki skup A, dok kod definicija u ostatku ovog članka, domen funkcije izbora nad kolekcijom skupova je ta kolekcija, pa zato ima smisla samo za skupove skupova. Sa ovim alternativnim pojmom funkcije izbora, aksioma izbora se može kraće zapisati kao

Svaki skup ima funkciju izbora.

što je ekvivalentno sa

Za svaki skup A, postoji funkcija f, takva da se za svaki neprazan podskup B od A, f(B) nalazi u B.

Negacija aksiome se stoga može izraziti kao:

Postoji skup A, takav da za sve funkcije f (na skupu nepraznih podskupova od A), postoji B, takvo da se f(B) ne nalazi u B.

Upotreba

Do kasnog 19. veka, aksioma izbora je često korišćena implicitno, mada još nije bila formalno izrečena. Na primer, nakon što bi ustanovio da skup X sadrži samo neprazne skupove, matematičar bi mogao da kaže „neka je F(s) jedan od članova s za svako s iz X“. U opštem slučaju, nije moguće da se dokaže da F postoji bez aksiome izbora, ali izgleda da ovo do Zermela niko nije uočio.

Ne zahteva svaka situacija aksiomu izbora. Za konačne skupove X, aksioma izbora sledi iz drugih aksioma teorije skupova. U tom slučaju je ekvivalentno reći da ako postoji nekoliko (konačan broj) posuda, od kojih svaka sadrži najmanje po jedan predmet, onda može da bude izabran po tačno jedan predmet iz svake posude. Jasno, ovo je moguće sprovesti: krene se od prve posude iz koje se izabere jedan predmet; produži se do posude kutije iz koje se izabere jedan predmet; i tako dalje. Broj posuda je konačan, tako da će se u jednom trenutku procedura izbora završiti. Rezultat je eksplicitna funkcija izbora: funkcija koja preslikava prvu kutiju u prvi izabrani element, drugu kutiju u drugi izabrani element, i tako dalje. (Formalni dokaz za sve konačne skupove bi koristio princip matematičke indukcije.)

I kod određenih beskonačnih skupova X je moguće izbeći aksiomu izbora. Na primer, ako se pretpostavi da su elementi od X skupovi prirodnih brojeva. Svaki neprazan skup prirodnih brojeva ima najmanji element, pa se funkcija izbora može definisati prosto tako što preslikava svaki skup u najmanji element tog skupa. Ovo daje izbor elementa za svaki skup, i može da se zapiše eksplicitan izraz koji govori koju vrednost funkcija uzima. Svaki put kada je moguće načiniti takav eksplicitan izbor, aksioma izbora nije neophodna.

Teškoće se pojavljuju kada ne postoji prirodan izbor elemenata iz svakog skupa. Ako nije moguće načiniti eksplicitne izbore, kako se da se zna da ti skupovi postoje? Na primer, pod pretpostavkom da je X skup svih nepraznih podskupova realnih brojeva. Prvi pokušaj rešenja bi mogao da bude isti kao i u slučaju konačnog broja skupova. Ako se bira element iz svakog skupa redom, pošto je X beskonačan skup, procedura izbora se nikad neće okončati, i stoga na ovaj način nije moguće proizvesti funkciju izbora za X. Znači, takav pristup ne radi. Sledeća mogućnost bi bila da se odredi najmanji element svakog skupa. Međutim, neki podskupovi realnih brojeva nemaju najmanji element. Na primer, otvoreni interval (0, 1) nema najmanji element: Ako je x unutar (0, 1), onda je i x/2 u tom intervalu, a x/2 je uvek strogo manje od x. Dakle, ni uzimanje najmanjeg elementa nije rešenje.

Razlog zašto je moguće uzeti najmanje elemente iz podskupova prirodnih brojeva leži u činjenici da prirodni brojevi imaju svoju dobru uređenost: svaki podskup skupa prirodnih brojeva ima jedinstveni najmanji element u odnosu na prirodno uređenje. Moglo bi da se primeti da: Iako uobičajeno uređenje realnih brojeva ne radi, možda je moguće da se nađe drugačije uređenje realnih brojeva koje dobro uređuje skup. Tada bi funkcija izbora mogla da izabere najmanji element iz svakog skupa u odnosu na ovo novo uređenje. Problem nalaženja funkcije izbora tada prelazi u provlem konstruisanja dobrog uređenja, a ispostavlja se da je aksioma izbora neophodna za njegovo postojanje; svaki skup može da bude dobro uređen ako i samo ako aksioma izbora važi.

Nekonstruktivni aspekti

Dokaz koji zahteva aksiomu izbora je, u jednom značenju reči, nekonstruktivan: čak iako dokaz potvrđuje postojanje objekta, može da bude nemoguće da se taj objekat definiše u jeziku teorije skupova. Na primer, iako aksioma izbora implicira da postoji dobro uređenje realnih brojeva, postoje modeli teorije skupova sa aksiomom izbora u kojima se ne može definisati ni jedno dobro uređenje realnih brojeva. Još jedan primer je podskup realnih brojeva koji nije Lebeg merljiv, za koji se može dokazati da postoji korišćenjem aksiome izbora, ali je konzistentno da se takav skup ne može definisati.

Neki matematičari ne vole aksiomu izbora jer ona proizvodi ovakve objekte koji ne mogu da se konstruišu. Kako nema kanonskog dobrog uređenja bilo kog skupa, konstrukcija koja se oslanja na dobro uređenje može da ne proizvede kanonski rezultat, čak i kada se on traži (kao što je često slučaj u teoriji kategorija). Mala zajednica matematičara konstruktivista tvrdi da bi svi dokazi postojanja morali da budu potpuno eksplicitni; moralo bi da bude moguće da se konstruiše, na eksplicitan i kanonski način, sve za šta je dokazano da postoji. Oni odbacuju punu aksiomu izbora jer ona utvrđuje postojanje objekta, bez jedinstvenog određenja njegove strukture. Štaviše, teorema Đakonesku-Gudman-Majhil (Diaconescu–Goodman–Myhill) pokazuje kako da se izvede konstruktivno neprihvatljivi princip isključenja trećeg, ili njegovu ograničenu formu, u konstruktivnoj teoriji skupova iz pretpostavke aksiome izbora.

Još jedan argument protiv aksiome izbora je taj što ona implicira postojanje kontraintuitivnih objekata. Jedan primer ovoga je paradoks Banaha-Tarskog, koji tvrdi da je moguće dekomponovati ("rastaviti, iseći") trodimenzionu jednodelnu loptu u konačno mnogo delova, i korišćenjem samo rotacija i translacija, preurediti ove delove tako da daju dve jednodelne lopte od kojih je svaka zapremine jednake početnoj od koje su nastale. Delovi u ovoj dekompoziciji, konstruisani korišćenjem aksiome izbora, su ekstremno komplikovani.

Uprkos ovim argumentima, većina matematičara prihvata aksiomu izbora kao validan princip za dokazivanje novih rezultata u matematici.

Mnoge teoreme je moguće dokazati bez korišćenja bilo aksiome izbora, bilo njene negacije; ovo je uobičajeno u konstruktivnoj matematici. Takvi iskazi će biti istiniti u svakom modelu Zermelo-Frenkel teorije skupova (ZF), nezavisno od istinitosti ili neistinitosi aksiome izbora u tom pojedinačnom modelu. Ograničenje na ZF čini svaku tvrdnju koja se oslanja bilo na aksiomu izbora bilo na njenu negaciju, nedokazivom. Na primer, paradoks Banaha-Tarskog nije moguće ni dokazati, niti opovrgnuti korišćenjem same ZF: nemoguće je da se konstruiše tražena dekompozicija lopte u ZF, ali je takođe nemoguće da se pokaže da takva dekompozicija ne postoji. Slično, svi dole izlistani iskazi koji u svom dokazu zahtevaju aksiomu izbora, ili neku njenu slabiju verziju, su nedokazivi u ZF, ali kako je svaki od njih dokaziv u ZF plus aksioma izbora, postoje modeli ZF u kojima je svaki iskaz tačan. Iskazi kao što je paradoks Banaha-Tarskog mogu da se preformulišu u uslovne iskaze, na primer Ako aksioma izbora važi, dekompozicija iz paradoksa Banaha-Tarskog postoji. Takvi uslovni iskazi su dokazivi u ZF kada su početni iskazi dokazivi u ZF plus aksioma izbora.

Nezavisnost

Po radu Kurta Gedela i Pola Koena, aksioma izbora je logički nezavisna od ostalih aksioma Zermelo-Frenkel teorije skupova (ZF). Ovo znači da ni ona, niti njena negacija ne mogu da budu dokazane unutar ZF, ako je ZF konzistentna. Posledično, ako je ZF konzistentna, onda je i ZF plus aksioma izbora konzistentna, kao i ZF plus negacija aksiome izbora. Znači odluka da li je ili nije prikladno da se u dokazima koristi aksioma izbora ne može da bude doneta pozivanjem na ostale aksiome teorije skupova. Ova odluka se mora doneti na nekoj drugoj osnovi.

Jedan argument u prilog korišćenja aksiome izbora jeste to što je ona zgodna: njeno korišćenje ne može da škodi (ne može da dovede do kontradikcije), a omogućava da se dokažu neke stvari koe inače ne bi bilo moguće dokazati. Teoreme kao što su: svaki ideal u prstenu je sadržan u maksimalnom idealu, svaki vektorski prostor ima bazu i svaki proizvod kompaktnih prostora je kompaktan, možda ne bi važile za matematičke objekte velike kardinalnosti.

Rezultat dokaza nezavisnosti takođe pokazuje da široka klasa matematičkih iskaza, uključujući sve iskaze koji se mogu izreći jezikom Peanove aritmetike, su dokazivi u ZF ako i samo ako su dokazivi u ZF sa aksiomom izbora. Iskazi u ovoj klasi uključuju iskaz da P = NP, Rimanovu hipotezu, i mnoge druge nerešene matematičke probleme. Kada se pokuša rešavanje problema iz ove klase, nema razlike da li se pretpostavlja ZF ili ZFI (Zermelo-Frenkel sa aksiomom izbora), ako je postavlja samo pitanje postojanja dokaza. Međutim, moguće je da postoji kraći dokaz koji sledi iz ZFI nego iz ZF.

Aksioma izbora nije jedini značajan iskaz koji je nezavisan od ZF. Na primer, uopštena hipoteza kontinuuma nije samo nezavisna u odnosu na ZF, već je nezavisna i u odnosu na ZFI. Međutim, ZF plus uopštena hipoteza kontinuuma impliciraju aksiomu izbora, što čini uopštenu hipotezu kontinuuma strogo jačim tvrđenjem od aksiome izbora, nevezano za činjenicu da su oba nezavisna u odnosu na ZF.

Jače aksiome

Aksioma konstruktabilnosti i uopštena hipoteza kontinuuma obe impliciraju aksiomu izbora, ali su strogo jače od nje.

U klasi teorija kao što su Fon Nojman-Bernejz-Gedelova teorija skupova i Morze-Kelej teorija skupova, postoji moguća aksioma koja se zove aksioma globalnog izbora koja je jača od aksiome izbora za skupove jer takođe važi i za prave klase. I aksioma globalnog izbora sledi iz aksiome ograničenja veličine.

Ekvivalenti

Postoji jako veliki broj važnih iskaza koji su pod pretpostavkom aksioma ZF ali ne i aksiome izbora niti njene negacije, ekvivalentni sa aksiomom izbora. Najvažniji među njima su Zornova lema i teorema dobre uređenosti. U stvari, Zermelo je isprva i uveo aksiomu izbora kako bi formalizovao svoj dokaz principa dobre uređenosti.

• Teorija skupova
  • Teorema dobre uređenosti: Svaki skup može da bude dobro uređen. Posledično, svaki kardinal ima početni ordinal.
  • Ako je skup A beskonačan, onda A i A×A imaju istu kardinalnost.
  • Trihotomija: Ako su data dva skupa, onda su ili oba iste kardinalnosti, ili jedan ima manju kardinalnost od drugog.
  • Dekartov proizvod svake neprazne familije nepraznih skupova je neprazan.
  • Kenigova teorema: Kolokvijalno, suma niza kardinala je strogo manja od proizvoda niza većih kardinala. (Razlog za izraz „kolokvijalno“, je u tome što se suma ili proizvod niza kardinala ne mogu definisati bez nekih aspekata aksiome izbora.)
  • Svaka surjektivna funkcija ima desni inverz.
• Teorija uređenja
  • Zornova lema: Svaki neprazan parcijalno uređen skup u kome svaki lanac (tj. potpuno uređen podskup) ima gornju granicu sadrži najmanje jedan maksimalan element.
  • Hausdorfov princip maksimalnosti: U svakom parcijalno uređenom skupu, svaki potpuno uređen podskup se sadrži u maksimalnom potpuno uređenom podskupu.
  • Ograničeni Hausdorfov princip maksimalnosti: U svakom parcijalno uređenom skupu postoji maksimalan potpuno uređen podskup.
• Algebra
  • Svaki vektorski prostor ima bazu.
  • Svaki unitaran prsten izuzev trivijalnog prstena sadrži maksimalni ideal.
• Opšta topologija
  • Teorema Tihonova kaže da je svaki proizvod kompaktnih topoloških prostora kompaktan.
  • U topologiji proizvoda, zatvorenje proizvoda podskupa je jednako proizvodu zatvorenja.
  • Svaki proizvod kompletnih uniformnih prostora je kompletan.

Teorija kategorija

Nekoliko rezultata teorije kategorija koriste aksiomu izbora u svojim dokazima. Ovi rezultati mogu da budu slabiji, ekvivalentni ili jači od aksiome izbora, u zavisnosti od snage tehničkih osnova. Na primer, ako se kategorije definišu u pojmovima skupova, to jest kao skupove objekata i morfizme (što se obično naziva mala kategorija), ili čak lokalno male kategorije, čiji objekti su skupovi, onda ne postoji kategorija svih skupova, pa je teško da se formulacija teorije kategorija primeni na sve skupove. Sa druge strane, drugi opisi osnova teorije kategorija su znatno snažniji, pa identičnan iskaz izbora teorije kategorija može da bude jači od standardne formulacije opisane ranije.

Među primerima iskaza teorije kategorija koji zahtevaju izbor su:

• Svaka mala kategorija ima skelet.
• Ako su dve male kategorije slabo ekvivalentne, onda su one ekvivalentne.

Slabiji oblici

Postoji nekoliko slabijih iskaza koji nisu ekvivalentni sa aksiomom izbora, ali su u bliskoj vezi s njom. Jedan primer je aksioma prebrojivog izbora, koja kaže da funkcija izbora postoji za svaki prebrojivi skup X, i jača aksioma zavisnog izbora. Ove aksiome su dovoljne za mnoge dokaze u oblasti elementarne matematičkoj analizi, i konzistentne su sa nekim principima, kao što je Lebeg merljivost svih skupova realnih brojeva, koji se mogu opovrgnuti iz aksiome izbora.

Među ostalim aksiomama slabijim od aksiome izbora su Bulovska teorema o prostom idealu i aksioma uniformizacije.

Rezultati koji zahtevaju AI (ili njene slabije oblike) a slabiji su od nje

Jedan od interesantnih momenata u vezi aksiome izbora jeste veliki broj mesta u matematici gde se ona pojavljuje. Slede primeri iskaza koji zahtevaju aksiomu izbora u smislu da nisu dokazivi iz Zermelo-Frenkel teorije skupova, ali su dokazivi iz ZF ako joj se doda aksioma izbora. Ekvivalentno, ovi iskazi su tačni u svim modelima ZF plus AI, ali su netačni u nekim modelima ZF.

• Teorija skupova
  • Svaka unija prebrojivo mnogo prebrojivih skupova je i sama prebrojiva.
  • Ako je skup A beskonačan, onda postoji injekcija iz skupa prirodnih brojeva N u A (vidi Dedekind beskonačnost).
• Teorija mere
  • Vitalijeva teorema o postojanju nemerljivih skupova kaže da postoji podskup skupa realnih brojeva koji nije Lebeg merljiv.
  • Hausdorfov paradoks.
  • Paradoks Banaha-Tarskog.
  • Lebegova mera prebrojive disjunktne unije merljivih skupova je jednaka sumi mera pojedinačnih skupova.
• Algebra
  • Svako polje ima algebarsko zatvorenje.
  • Svako proširenje polja ima transcedentnu bazu.
  • Nilsen-Šrejerova teorema, da je svaka podgrupa slobodne grupe slobodna.
  • Aditivne grupe R i C su izomorfne.
• Funkcionalna analiza
  • Teorema Hana-Banaha u funkcionalnoj analizi, koja dopušta proširenje linearnih formi
  • Teorema da svaki Hilbertov prostor ima ortonormalnu bazu.
  • Teorema Banaha-Alaoglu o kompaktnosti skupova funkcionala.
  • Berova teorema o kategoriji o kompletnim metričkim prostorima, i njene posledice, kao što je teorema o otvorenom preslikavanju i teorema o zatvorenom grafiku.
  • Na svakom topološkom vektorskom prostoru beskonačne dimenzije postoji prekidno linearno preslikavanje.
• Opšta topologija
  • Uniformni prostor je kompaktan ako i samo ako je kompletan i totalno ograničen.
  • Svaki prostor Tihonova ima Stoun-Čehovu kompaktizaciju.

Jači oblici ¬AI

Razmotrimo jače oblike negacije aksiome izbora. Na primer, ako oznakom BS označimo tvrdnju da svaki skup realnih brojeva ima Berovo svojstvo, onda je BS jače od ¬AI (negacija aksiome izbora), koja tvrdi nepostojanje bilo kakve funkcije izbora na možda samo jednom skupu nepraznih skupova. Valja uočiti da ojačane negacije mogu da budu sazlasne sa slabijim oblicima aksiome izbora. Na primer, ZF + ZI + BS je konzistentno ako je ZF konzistentno.

Sa ZF + ZI je takođe konzistentno sa tvrđenjem da je svaki skup realnih brojeva Lebeg merljiv; međutim ova konzistentnost, po Robertu M. Soloveju, ne može da se dokaže iz same ZF plus aksioma izbora, već zahteva blagu pretpostavku velikog kardinala (postojanje nedostupnog kardinala). Mnogo jača aksioma određenosti, ili AO, implicira da je svaki skup realnih brojeva Lebeg merljiv, ima Berovo svojstvo, i svojstvo savršenog skupa (sva tri tvrđenja su rezultat odbacivanja aksiome izbora). ZF + ZI + AO je konzistentno ako je dovoljno jaka aksioma velikog kardinala konzistentna (postojanje beskonačno mnogo Vudinovih kardinala).

Rezultati koji zahtvaju ¬AI

Postoje modeli Zermelo-Frenkel teorije skupova u kojima je aksioma izbora netačna. Oznaka ZF¬I se koristi kao skraćenica za Zermelo-Frenkel teorija skupova sa negacijom aksiome izbora'. Za neke modele ZF¬I je moguće dokazati negaciju nekih standardnih činjenica.

Valja imati u vidu da je svaki model za ZF¬I takođe i model za ZF, pa za svaki od sledećih iskaza postoji model ZF u kome je iskaz tačan.

• Postoji model ZF¬I u kome postoji funkcija f iz skupa realnih brojeva u skup realnih brojeva, takva da f nije neprekidna na a, ali za svaki niz {x_n} koji konvergira ka a, lim_n f(x_n)=f(a).
• Postoji model ZF¬I u kome su realni brojevi prebrojiva unija prebrojivih skupova.
• Postoji model ZF¬I u kome postoji polje koje nema algebarsko zatvorenje.
• U svim modelima ZF¬I postoji vektorski prostor bez baze.
• Postoji model ZF¬I u kome postoji vektorski prostor sa dve baze različite kardinalnosti.

Za dokaze, videti knjigu Tomasa Jeha, The Axiom of Choice, American Elsevier Pub. Co., New York, 1973.

• Postoji model ZF¬I u kome je svaki skup u Rⁿ merljiv. Stoga je moguće isključiti kontraintuitivne rezultate kao što je paradoks Banaha-Tarskog, koji su dokazivi u ZFI. Štaviše, ovo je moguće i uz pretpostavku aksiome zavisnog izbora, koja je slabiji oblik aksiome izbora, ali dovoljno jaka da je iz nje moguće razviti veći deo realne analize.
• U svim modelima ZF¬I, generalizovana hipoteza kontinuuma ne važi.

Citati

"Aksioma izbora je očigledno tačna, teorema dobre uređenosti očigledno nije tačna, a za Zornovu lemu, ko zna?" — Džeri Bona

Ovo je šala: iako su ova tri iskaza matematički ekvivalentna, većina matematičara smatra aksiomu izbora intuitivnom, princip dobre uređenosti kontraintuitivnim, a Zornovu lemu suviše kompleksnom za bilo kakvu intuiciju.

"Aksioma izbora je neophodna da bi se izabrao skup iz beskonačnog broja čarapa, ali ne i za beskonačan broj cipela." — Bertran Rasel

Ovo je zapažanje da može da se definiše funkcija izbora iz beskonačnog broja pari cipela tako što se na primer kaže da se uvek bira leva cipela. Međutim, bez aksiome izbora, ne može se tvrditi da takva funkcija postoji za čarape, jer se leva i desna čarapa (po pretpostavci) međusobno ne razlikuju.

Literatura

• Herrlich, Horst (2006) [1876]. Axiom of Choice. Berlin, Heidelberg: Springer Verlag. ISBN 978-3-540-30989-5. .}-
• Paul Howard and Jean Rubin, "Consequences of the Axiom of Choice". Mathematical Surveys and Monographs 59; American Mathematical Society; 1998.
• Thomas Jech, "About the Axiom of Choice." Handbook of Mathematical Logic, John Barwise, ed., 1977.
• Moore, Gregory H. (1982). Zermelo's axiom of choice, Its origins, development and influence. Springer. ISBN 978-0-387-90670-6. .
• Ernst Zermelo, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I," Mathematische Annalen 65: (1908). pp. 261-81. PDF download via digizeitschriften.de
• Heijenoort, Jean van (2002). From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. New edition. Harvard University Press. ISBN 978-0-674-32449-7. 

Spoljašnje veze

• Aksioma izbora i njeni ekvivalenti na sajtu ProvenMath, uključuje formalni iskaz aksiome izbora, Hauzdorfovog principa maksimalnosti, Zornove leme i formalne dokaze njihove ekvivalencije, sve do najfinijih detalja.
• Posledice aksiome izbora, bazirano na knjizi Pola Hauarda Arhivirano na sajtu Wayback Machine (26. februar 2021) i Džejn Rubin.
• Džon L. Bel. „Aksioma izbora”. Ur.: Zalta, Edward N. Stanford Encyclopedia of Philosophy.