Apstraktna algebra

Apstraktna algebra je grana matematike, koja se bavi opštim algebarskim strukturama kao što su grupe, prsteni, polja, moduli, vektorski prostori, i algebre. Danas se često koristi izraz algebra umjesto apstraktna algebra.

Permutacije Rubikove kocke imaju strukturu grupe. Grupa je osnovni koncept unutar apstraktne algebre.

Izraz apstraktna algebra se danas odnosi na proučavanje svih algebarskih struktura, i razlikuje se od elementarne algebre koju obično uče djeca, a koja se bavi ispravnim pravilima za manipulisanje formulama i algebarskim izrazima koji uključuju realne i kompleksne brojeve i nepoznate.

Savremena matematika i matematička fizika intenzivno koriste apstraktnu algebru: na primjer, teorijska fizika se koristi lijevim algebrama. Oblasti kao što su algebarska teorija brojeva, algebarska topologija, i algebarska geometrija primjenjuju algebarske metode na druge grane matematike.

Dvije grane matematike koje proučavaju svojstva algebarskih struktura posmatranih u celini, su univerzalna algebra i teorija kategorija. Algebarske strukture, zajedno sa njima povezanim homomorfizmima daju kategorije. Teorija kategorija je moćan formalizam za proučavanje i upoređivanje različitih algebarskih struktura.

Istorija

Kao i u drugim delovima matematike, konkretni problemi i primeri su igrali važnu ulogu u razvoju apstraktne algebre. Do kraja devetnaestog veka, mnogi – možda većina – od ovih problema bili su na neki način povezani sa teorijom algebarskih jednačina. Glavne teme uključuju:

• Rešavanje sistema linearnih jednačina, što je dovelo do linearne algebre
• Pokušaji pronalaženja formula za rešenja opštih polinomskih jednačina višeg stepena koji su rezultirali otkrivanjem grupa kao apstraktnih manifestacija simetrije.
• Aritmetička istraživanja kvadratnih i višestepenih oblika i diofantinskih jednačina, koja su direktno proizvela pojmove prstena i ideala.

Brojni udžbenici iz apstraktne algebre počinju sa aksiomatskim definicijama različitih algebarskih struktura, a zatim nastavljaju sa utvrđivanjem njihovih osobina. Ovo stvara lažan utisak da su u algebri aksiomi prvo došli, a zatim poslužili kao motivacija i kao osnova za dalje proučavanje. Pravi poredak istorijskog razvoja bio je skoro potpuno suprotan. Na primer, hiperkompleksni brojevi devetnaestog veka imali su kinematiku i fizičku motivaciju, ali su dovodili u pitanje razumevanje. Većina teorija koje su danas prepoznate kao delovi algebre počele su kao zbirke različitih činjenica iz različitih grana matematike, dobile su zajedničku temu koja je služila kao jezgro oko kojeg su grupisani razni rezultati i konačno su se ujedinili na osnovu zajedničkog skupa koncepata. Arhetipski primer ove progresivne sinteze može se videti u istoriji teorije grupa.

Rana teorija grupa

Postojalo je nekoliko niti u ranom razvoju teorije grupa, koje sa modernog stanovišta labavo odgovaraju teoriji brojeva, teoriji jednačina i geometriji.

Leonhard Ojler je razmatrao algebarske operacije nad brojevima po modulu celog broja — modularna aritmetika — u svojoj generalizaciji Fermaove male teoreme. Ova istraživanja je mnogo dalje odveo Karl Fridrih Gaus, koji je razmatrao strukturu multiplikativnih grupa ostataka mod n i ustanovio mnoga svojstva cikličnih i opštijih abelovih grupa koje nastaju na ovaj način. U svojim istraživanjima sastava binarnih kvadratnih oblika, Gaus je eksplicitno naveo asocijativni zakon za sastav oblika, ali kao i Ojler pre njega, čini se da su ga više zanimali konkretni rezultati nego opšta teorija. Leopold Kroneker je 1870. dao definiciju abelove grupe u kontekstu idealnih klasnih grupa brojnog polja, generalizujući Gausov rad; ali izgleda da svoju definiciju nije povezao sa prethodnim radom na grupama, posebno permutacionim grupama. Godine 1882, razmatrajući isto pitanje, Hajnrih M. Veber je shvatio vezu i dao sličnu definiciju koja je uključivala svojstvo poništavanja, ali je izostavila postojanje inverznog elementa, što je bilo dovoljno u njegovom kontekstu (konačne grupe).

Permutacije je proučavao Žozef-Luj Lagranž u svom radu iz 1770. Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Razmišljanja o algebarskom rešenju jednačina) posvećenom rešenjima algebarskih jednačina, u koji je uveo Lagranžove rezolvente. Lagranžov cilj je bio da razume zašto jednačine trećeg i četvrtog stepena prihvataju formule za rešenja, a kao ključne objekte identifikovao je permutacije korena. Važan novi korak koji je Lagranž napravio u ovom radu bio je apstraktni pogled na korene, odnosno kao simbole, a ne kao brojeve. Međutim, on nije razmatrao kompoziciju permutacija. Slučajno, prvo izdanje Edvarda Varinga Meditationes Algebraicae (Meditacije o algebri) pojavilo se iste godine, sa proširenom verzijom objavljenom 1782. Varing je dokazao osnovnu teoremu simetričnih polinoma i posebno razmatrao odnos između korena kvartične jednačine i njegova rezolventna kubna. Aleksandr Vandermond je u delu Mémoire sur la résolution des équations (Memoari o rešavanju jednačina) (1771) razvio teoriju simetričnih funkcija iz malo drugačijeg ugla, ali poput Lagranža, sa ciljem razumevanja rešivosti algebarskih jednačina.

Kroneker je 1888. godine tvrdio da je proučavanje moderne algebre počelo ovim prvim Vandermondovim radom. Koši sasvim jasno kaže da je Vandermond imao prioritet u odnosu na Lagranža za ovu izvanrednu ideju, koja je na kraju dovela do proučavanja teorije grupa.

Paolo Rufini je bio prva osoba koja je razvila teoriju permutacionih grupa, i kao i njegovi prethodnici, takođe u kontekstu rešavanja algebarskih jednačina. Njegov cilj je bio da utvrdi nemogućnost algebarskog rešenja opšte algebarske jednačine stepena većeg od četiri. Na putu ka ovom cilju uveo je pojam reda elementa grupe, konjugacije, ciklusnu dekompoziciju elemenata permutacionih grupa i pojmove primitivnog i imprimitivnog i dokazao neke važne teoreme koje se odnose na ove koncepte, kao npr.

ako je G podgrupa od S₅ čiji je red deljiv sa 5 onda G sadrži element reda 5.

Međutim, on nije formalizovao koncept grupe, pa čak ni grupe permutacija. Sledeći korak je preduzeo Evarist Galoa 1832. godine, iako je njegov rad ostao neobjavljen sve do 1846. godine, kada je prvi put razmatrao ono što se danas naziva svojstvom zatvaranja grupe permutacija, koje je izrazio navodeći

ako u takvoj grupi ima supstitucije S i T onda postoji supstitucija ST.

Moderna algebra

Krajem 19. i početkom 20. veka došlo je do promene u metodologiji matematike. Apstraktna algebra se pojavila početkom 20. veka, pod nazivom moderna algebra. Njeno proučavanje bilo je deo težnje za većom intelektualnom strogošću u matematici. U početku su pretpostavke u klasičnoj algebri, od kojih zavisi cela matematika (i glavni delovi prirodnih nauka), poprimile oblik aksiomatskih sistema. Matematičari više nisu bili zadovoljni utvrđivanjem svojstava konkretnih objekata, već su počeli da skreću pažnju na opštu teoriju. Formalne definicije određenih algebarskih struktura počele su da se pojavljuju u 19. veku. Na primer, rezultati o različitim grupama permutacija počeli su da se posmatraju kao primeri opštih teorema koje se tiču opšteg pojma apstraktne grupe. U prvi plan su izašla pitanja strukture i klasifikacije različitih matematičkih objekata.

Osnovni koncepti

Glavni članak: Algebarska struktura

Apstrahujući različite količine detalja, matematičari su definisali različite algebarske strukture koje se koriste u mnogim oblastima matematike. Na primer, skoro svi proučavani sistemi su skupovi, na koje se primenjuju teoreme teorije skupova. Oni skupovi koji imaju određenu binarnu operaciju definisanu na sebi formiraju magme, na koje se primenjuju koncepti koji se tiču magme, kao i oni koji se tiču skupova. Mogu se dodati dodatna ograničenja algebarskoj strukturi, kao što je asocijativnost (da bi se formirale polugrupe); identitet, i inverzi (da se formiraju grupe); i druge složenije strukture. Uz dodatnu strukturu, moglo bi se dokazati više teorema, ali je opštost smanjena. „Hijerarhija“ algebarskih objekata (u smislu uopštenosti) stvara hijerarhiju odgovarajućih teorija: na primer, teoreme teorije grupa mogu se koristiti kada se proučavaju prstenovi (algebarski objekti koji imaju dve binarne operacije sa određenim aksiomima) jer je prsten grupa nad jednom od njenih operacija. Uopšteno govoreći, postoji ravnoteža između količine uopštenosti i bogatstva teorije: opštije strukture obično imaju manje netrivijalnih teorema i manje primena.

Algebarske strukture između magmi i grupa. Na primer, monoidi su polugrupe sa identitetom.

Primeri algebarskih struktura sa jednom binarnom operacijom su:

• Magma
• Kvazigrupa
• Monoid
• Polugrupa
• Grupa

Primeri koji uključuju nekoliko operacija uključuju:

• Prsten
• Polje
• Modul
• Vektorski prostor
• Algebra nad poljem
• Asocijativna algebra
• Lijeva algebra
• Rešetka
• Bulova algebra

Aplikacije

Zbog svoje opštosti, apstraktna algebra se koristi u mnogim oblastima matematike i nauke. Na primer, algebarska topologija koristi algebarske objekte za proučavanje topologija. Poenkareova hipoteza, dokazana 2003. godine, tvrdi da se fundamentalna grupa mnogostrukosti, koja kodira informacije o povezanosti, može koristiti za određivanje da li je mnogostrukost sfera ili ne. Algebarska teorija brojeva proučava različite prstenove brojeva koji generalizuju skup celih brojeva. Koristeći alate algebarske teorije brojeva, Endru Vajls je dokazao Fermaovu poslednju teoremu.

U fizici se grupe koriste za predstavljanje operacija simetrije, a upotreba teorije grupa mogla bi da pojednostavi diferencijalne jednačine. U teoriji merača, zahtev lokalne simetrije se može koristiti za izvođenje jednačina koje opisuju sistem. Grupe koje opisuju te simetrije su Lijeve grupe, a proučavanje Lijevih grupa i Lijevih algebri otkriva mnogo o fizičkom sistemu; na primer, broj nosilaca sile u teoriji jednak je dimenziji Lijeve algebre, a ovi bozoni su u interakciji sa silom koju posreduju ako je Lijeva algebra neabelova.

Literatura

• Allenby, R. B. J. T. (1991), Rings, Fields and Groups, Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2 
• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1 
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (1999) [1981], A Course in Universal Algebra 
• Gilbert, Jimmie; Gilbert, Linda (2005), Elements of Modern Algebra, Thomson Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-40264-8 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third izd.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
• Sethuraman, B. A. (1996), Rings, Fields, Vector Spaces, and Group Theory: An Introduction to Abstract Algebra via Geometric Constructibility, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94848-5 
• Whitehead, C. (2002), Guide to Abstract Algebra (2nd izd.), Houndmills: Palgrave, ISBN 978-0-333-79447-0 
• W. Keith Nicholson (2012) Introduction to Abstract Algebra, 4th edition, John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8 .
• John R. Durbin (1992) Modern Algebra : an introduction, John Wiley & Sons
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (2nd izd.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2 
• Michel, Anthony N.; Herget, Charles J. (1993), Applied Algebra and Functional Analysis, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67598-5 
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (1981), A Course in Universal Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-90578-3 
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd izd.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2 
• Taylor, Paul (1999), Practical foundations of mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63107-5 
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th izd.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd izd.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-8 
• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9 

Spoljašnje veze

• Charles C. Pinter (1990) [1982] A Book of Abstract Algebra, second edition, from University of Maryland