Ajzenštajnov kriterijum

U matematici, Ajzenštajnov kriterijum predstavlja dovoljan uslov da se kaže da je neki polinom nerastavljiv nad skupom realnih brojeva (ili ekvivalentno, nad skupom celih brojeva; vidi Gausova lema).

Pretpostavimo da imamo sledeći polinom sa celobrojnim koeficijentima.

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}.\,$

Pretpostavimo da postoji prost broj p, takav da

• p deli svaki a_i za i ≠ n
• p ne deli a_n
• p² ne deli a₀.

Tada je f(x) nerastavljiv.

Primeri

Posmatrajmo g(x) = 3x⁴ + 15x² + 10.

Testiramo proste brojeve p: za p = 2, 2 ne deli 15 a za p = 3, 3 ne deli 10. Uzimanje p = 5 funkcioniše, jer 5 deli 15, koeficijent od x, i 10, koeficijent uz x⁰. Takođe, 5 ne deli 3, vodeći koeficijent. Konačno, 25 = 5² ne deli 10. Znači, zaključujemo da je g(x) nerastavljiv.

U nekim slučajevima nije jasno koji prost broj da se uzme, ali se to može otkriti zamenom promenljive y = x + a.

Na primer, uzmimo h(x) = x² + x + 2. Ovo izgleda teško, jer nijedan prost broj ne deli 1, koeficijent uz x. Ali ako zamenimo h(x) sa h(x + 3) = x² + 7x + 14 vidimo odmah da prost broj 7 deli koeficijent uz x i koeficijent uz x⁰, i da 49 ne deli 14. Tako smo uvođenjem smene zadovoljili Ajzenštajnov kriterijum.