Distributivnost

Distributivnost je algebarska osobina ponašanja operatora sabiranja i množenja nad algebarskom strukturom $(K,\oplus ,\cdot )$. Konkretno kada se proizvod dva elementa skupa K može predstaviti ako zbir proizvoda jednog od njih sa još dva elementa koji u zbiru daju drugog, kaže se da zakon distribucije važi za datu algebarsku strukturu. Množenje može biti levo i desno te otuda dva različita uslova:

$a\cdot (b\oplus c)=a\cdot b\oplus a\cdot c$ (distributivnost sleva)

$(b\oplus c)\cdot a=b\cdot a\oplus c\cdot a$ (distributivnost zdesna)

Ako su zadovoljeni samo prvi ili samo drugi uslov, kaže se da se „levo odnosno desno množenje lepo ponaša prema sabiranju“. Ukoliko su oba ispunjena, kaže se da se „operacija množenja lepo ponaša prema sabiranju“ tj. da je distributivna.

Definicija

Za dati skup $S$ i dva binarna operatora $\,*\,$ i $\,+\,$ on $S,$

operacija $\,*\,$ je levo distributivna preko (ili u odnosu na) $\,+\,$ ako je dat bilo koji element $x,y,{\text{ и }}z$ iz $S,$

$$x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$$

operacija $\,*\,$ je desno distributivna preko $\,+\,$ ako je dat bilo koji element $x,y,{\text{ и }}z$ iz $S,$

$$(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$$

i operacija $\,*\,$ je distributivna preko $\,+\,$ ako je levo- i desno-distributivna.

Kada je $\,*\,$ komutativno, tri gornja uslova su logički ekvivalentna.

Značenje

Operatori koji se koriste za primere u ovom odeljku su oni uobičajenog sabiranja $\,+\,$ i množenja $\,\cdot .\,$

Ako operacija označena sa $\cdot$ nije komutativna, postoji razlika između leve distributivnosti i desne distributivnosti:

$$a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c\qquad {\text{ (лева-дистрибутивност) }}$$

$$(a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c\qquad {\text{ (десна-дистрибутивност) }}.$$

U oba slučaja, distributivno svojstvo se može rečima opisati kao:

Da bi se zbir (ili razlika) pomnožio sa faktorom, svaki sabirak (ili umanjenik i umanjilac) se množi sa ovim faktorom i dobijeni proizvodi se dodaju (ili oduzimaju).

Ako je operacija van zagrada (u ovom slučaju množenje) komutativna, onda leva distributivnost implicira desnu distributivnost i obrnuto, i govori se jednostavno o distributivnosti.

Jedan primer operacije koja je „samo“ desno-distributivna je deljenje, koje nije komutativno:

$$(a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c.$$

U ovom slučaju, leva distribucija se ne primenjuje:

$$a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c$$

Distributivni zakoni su među aksiomima za prstenove (poput prstena celih brojeva) i polja (poput polja racionalnih brojeva). Ovde je množenje distributivno nad sabiranjem, ali sabiranje nije distributivno nad množenjem. Primeri struktura sa dve operacije pri čemu je svaka distributivna nad drugom su Bulove algebre kao što je algebra skupova ili algebra preklapanja.

Primeri

Realni brojevi

U sledećim primerima je ilustrovana upotreba distributivnog zakona na skupu realnih brojeva $\mathbb {R}$. Kada se množenje pominje u elementarnoj matematici, obično se misli na ovu vrstu množenja. Sa tačke gledišta algebre, realni brojevi čine polje, koje obezbeđuje validnost distributivnog zakona.

Prvi primer (umno i pismeno množenje)

Tokom mentalne aritmetike, distributivnost se često koristi nesvesno:

$$6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96$$

Dakle, da bi se mentalno izračunalo $6\cdot 16$, prvo se pomnoži $6\cdot 10$ i $6\cdot 6$ i dodaju se intermedijarni rezultati. Pisano množenje se takođe zasniva na distributivnom zakonu.

Drugi primer (sa promenljivama)

$$3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}$$

Treći primer (sa dva zbira)

$${\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}$$

Ovde je distributivni zakon primenjen dva puta, i nije bitno koja se zagrada prva pomnoži.

Četvrti primer

Ovde se distributivni zakon primenjuje obrnuto u odnosu na prethodne primere. Razmotrite

$$12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.$$

Pošto se faktor $6a^{2}b$ javlja u svim sabircima, može se razdvojiti. To jest, zbog distributivnog zakona se dobija

$$12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).$$

Matrice

Za matrično množenje važi distributivni zakon. Preciznije,

$$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$$

za sve $l\times m$ matrice $A,B$ i $m\times n$ matrice $C,$ kao i

$$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$$

za sve $l\times m$ matrice $A$ i $m\times n$ matrice $B,C.$ Pošto komutativno svojstvo ne važi za množenje matrice, drugi zakon ne sledi iz prvog zakona. U ovom slučaju, to su dva različita zakona.

Drugi primeri

• Za razliku od toga, množenje rednih brojeva je samo levo-distributivno, a ne desno.
• Vektorski proizvod je levo- i desno-distributivan nad sabiranjem vektora, iako nije komutativno.
• Unija skupova je distributivna nad presekom, a presek je distributivna nad unijom.
• Logička disjunkcija („ili“) je distributivna u odnosu na logičku konjunkciju („i“), i obrnuto.
• Za realne brojeve (i za bilo koji potpuno uređen skup), maksimalna operacija je distributivna u odnosu na minimalnu operaciju, i obrnuto:
  $$\max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).$$
• Za cele brojeve, najveći zajednički delilac je distributivni preko najmanjeg zajedničkog sadržaoca, i obrnuto:
  $$\gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).$$
• Za realne brojeve, sabiranje se distribuira na maksimalnu operaciju, a takođe i na minimalnu operaciju:
  $$a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ and }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).$$
• Za binomno množenje, distribucija se ponekad naziva FOIL metodom (prvi pojmovi $ac,$ spoljašnji $ad,$ unutrašnji $bc,$ i poslednji $bd$), kao što su: $(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.$
• U svim poluprstenovima, uključujući kompleksne brojeve, kvaternione, polinome i matrice, množenje se distribuira preko sabiranja: $u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.$
• U svim algebrama nad poljem, uključujući oktonione i druge neasocijativne algebre, množenje se distribuira preko sabiranja.

Propoziciona logika

Pravilo zamene

U standardnoj istinito-funkcionalnoj propozicionalnoj logici, distribucija u logičkim dokazima koristi dva važeća pravila zamene da proširi pojedinačna pojavljivanja određenih logičkih konekcija, unutar neke formule, u zasebne primene te konekcije preko podformula date formule. Pravila su

$$(P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))\qquad {\text{ and }}\qquad (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))$$

gde je „$\Leftrightarrow$”, takođe napisano $\,\equiv ,\,$ je metalogički simbol koji predstavlja „može biti zamenjen u dokazu sa” ili „logički je ekvivalentno”.

Istinosno funkcionalni spojevi

Distributivnost je svojstvo nekih logičkih spojeva istinito-funkcionalne propozicione logike. Sledeće logičke ekvivalencije pokazuju da je distributivnost svojstvo određenih veziva. Slede istinito-funkcionalne tautologije.

$${\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ конјукције }}&&{\text{ над }}&&{\text{ дисјункцијом }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ дисјункције }}&&{\text{ над }}&&{\text{ конјукцијом }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ конјукције }}&&{\text{ над }}&&{\text{ конјукцијом }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ дисјункције }}&&{\text{ над }}&&{\text{ дисјункцијом }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ импликације }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ импликације }}&&{\text{ над }}&&{\text{ еквиваленцијом }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ импликације }}&&{\text{ над }}&&{\text{ конјукцијом }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ дисјункције }}&&{\text{ над }}&&{\text{ еквиваленцијом }}\\\end{alignedat}}$$

Dvostruka distribucija

$${\begin{alignedat}{13}&((P\land Q)&&\;\lor (R\land S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\lor R)\land (P\lor S))&&\;\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))&&\\&((P\lor Q)&&\;\land (R\lor S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\land R)\lor (P\land S))&&\;\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))&&\\\end{alignedat}}$$

Vidi još

• Asocijativnost
• Antikomutativnost
• Komutativnost

Literatura

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st izd.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551. 
• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2. 
• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic (12th izd.). Prentice Hall. ISBN 9780131898349. 
• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra (6e izd.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6. 
• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry (2e izd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0. 
• Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (12th izd.). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1. 
• Lumpkin, B. (1997). „The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt — A Response To Robert Palter” (PDF) (Unpublished manuscript). Arhivirano iz originala (PDF) 13. 7. 2007. g. 
• Gay, Robins R.; Shute, Charles C. D. (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. British Museum. ISBN 0-7141-0944-4. 
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Commutativity”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007.
• Weisstein, Eric W. „Commute”. MathWorld. , Accessed 8 August 2007.
• „Yark”.  Examples of non-commutative operations at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007
• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. „History of real numbers”. MacTutor. Pristupljeno 8. 8. 2007. 
• Cabillón, Julio; Miller, Jeff. „Earliest Known Uses Of Mathematical Terms”. Pristupljeno 22. 11. 2008. 
• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. „biography of François Servois”. MacTutor. Arhivirano iz originala 02. 09. 2009. g. Pristupljeno 8. 8. 2007. 
• Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY.
• Chang, C.C. and Keisler, H.J. (1973), Model Theory, North-Holland, Amsterdam, Netherlands.
• Kohavi, Zvi (1978), Switching and Finite Automata Theory, 1st edition, McGraw–Hill, 1970. 2nd edition, McGraw–Hill, 1978.
• Korfhage, Robert R. (1974), Discrete Computational Structures, Academic Press, New York, NY.
• Lambek, J. and Scott, P.J. (1986), Introduction to Higher Order Categorical Logic, Cambridge University Press, Cambridge, UK.
• Mendelson, Elliot (1964), Introduction to Mathematical Logic, D. Van Nostrand Company.
• Hofstadter, Douglas (1979). Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Basic Books. ISBN 978-0-465-02656-2. 
• Klement, Kevin C. (2006), "Propositional Logic", in James Fieser and Bradley Dowden (eds.), Internet Encyclopedia of Philosophy, Eprint.
• Formal Predicate Calculus, contains a systematic formal development along the lines of Alternative calculus
• forall x: an introduction to formal logic, by P.D. Magnus, covers formal semantics and proof theory for sentential logic.
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd izd.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hall Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan 
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8 
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd izd.), Boston: Allyn and Bacon 
• Nagy, Attila (31. 5. 2001). Special Classes of Semigroups. Springer. ISBN 978-0-7923-6890-8. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, London Mathematical Society Monographs. New Series, 12, Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-851194-9, Zbl 0835.20077 
• Jacobson, Nathan (1951), Lectures in Abstract Algebra, I, D. Van Nostrand Company, ISBN 0-387-90122-1 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd izd.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 
• Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mikhalev, Alexander V. (2000), Monoids, acts and categories. With applications to wreath products and graphs. A handbook for students and researchers, de Gruyter Expositions in Mathematics, 29, Berlin: Walter de Gruyter, ISBN 3-11-015248-7, Zbl 0945.20036 
• Lothaire, M. (1997), Lothaire, M, ur., Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 17, Perrin, D.; Reutenauer, C.; Berstel, J.; Pin, J. E.; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovitch, J.; Simon, I.; Schützenberger, M. P.; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Foreword by Roger Lyndon (2nd izd.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-59924-5, MR 1475463, Zbl 0874.20040, doi:10.1017/CBO9780511566097 
• Enderton, Herbert (2001), A Mathematical Introduction to Logic (2nd izd.), Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-238452-3 
• Gamut, L.T.F (1991), „Chapter 2”, Logic, Language and Meaning, 1, University of Chicago Press, str. 54—64, OCLC 21372380 
• Rautenberg, W. (2010), A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd izd.), New York: Springer Science+Business Media, ISBN 978-1-4419-1220-6, doi:10.1007/978-1-4419-1221-3 .
• Humberstone, Lloyd (2011). The Connectives. MIT Press. ISBN 978-0-262-01654-4. 
• Albert, A. Adrian (1948b). „On right alternative algebras”. Annals of Mathematics. 50 (2): 318—328. JSTOR 1969457. doi:10.2307/1969457. 
• Bremner, Murray; Murakami, Lúcia; Shestakov, Ivan (2013) [2006]. „Chapter 86: Nonassociative Algebras” (PDF). Ur.: Hogben, Leslie. Handbook of Linear Algebra (2nd izd.). CRC Press. ISBN 978-1-498-78560-0. 
• Herstein, I. N., ur. (2011) [1965]. Some Aspects of Ring Theory: Lectures given at a Summer School of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) held in Varenna (Como), Italy, August 23-31, 1965. C.I.M.E. Summer Schools. 37 (reprint izd.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-6421-1036-8. 
• Jacobson, Nathan (1968). Structure and representations of Jordan algebras. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXXIX. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-821-84640-7. MR 0251099. 
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions. Colloquium Publications. 44. With a preface by J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001. 
• Koecher, Max (1999). Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian, ur. The Minnesota notes on Jordan algebras and their applications. Lecture Notes in Mathematics. 1710. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-66360-6. Zbl 1072.17513. 
• Kokoris, Louis A. (1955). „Power-associative rings of characteristic two”. Proceedings of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 6 (5): 705—710. JSTOR 2032920. doi:10.2307/2032920 . 
• Kurosh, A.G. (1947). „Non-associative algebras and free products of algebras”. Mat. Sbornik. 20 (62). MR 20986. Zbl 0041.16803. 
• McCrimmon, Kevin (2004). A taste of Jordan algebras. Universitext. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95447-9. MR 2014924. Zbl 1044.17001. doi:10.1007/b97489. Errata. 
• Mikheev, I.M. (1976). „Right nilpotency in right alternative rings”. Siberian Mathematical Journal. 17 (1): 178—180. S2CID 121887008. doi:10.1007/BF00969304. 
• Okubo, Susumu (2005) [1995]. Introduction to Octonion and Other Non-Associative Algebras in Physics. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01792-0. Zbl 0841.17001. doi:10.1017/CBO9780511524479. 
• Rosenfeld, Boris (1997). Geometry of Lie groups. Mathematics and its Applications. 393. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4390-5. Zbl 0867.53002. 
• Rowen, Louis Halle (2008). Graduate Algebra: Noncommutative View. Graduate studies in mathematics. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8408-9. 
• Schafer, Richard D. (1995) [1966]. An Introduction to Nonassociative Algebras. Dover. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601. 
• Zhevlakov, Konstantin A.; Slin'ko, Arkadii M.; Shestakov, Ivan P.; Shirshov, Anatoly I. (1982) [1978]. Rings that are nearly associative. Prevod: Smith, Harry F. ISBN 0-12-779850-1. 

Spoljašnje veze

• A demonstration of the Distributive Law for integer arithmetic (from cut-the-knot)
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Boolean algebra”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "The Mathematics of Boolean Algebra," by J. Donald Monk.
• McCune W., 1997. Robbins Algebras Are Boolean JAR 19(3), 263—276
• "Boolean Algebra" by Eric W. Weisstein, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.