Elipsa

Za stilsku figuru, pogledajte Elipsa (književnost)

Elipsa (starogrč. ἔλλειψις, nedostatak) je u matematici kriva zatvorena linija u ravni, koja se može definisati kao geometrijsko mesto tačaka čiji je zbir rastojanja jedne tačke na elipsi od dve fiksirane tačke uvek jednak (vidi sliku). Ove dve tačke se još nazivaju fokusima elipse, a tačka koja se nalazi tačno između njih je centar elipse.

zbir rastojanja jedne tačke na elipsi (u ovom slučaju tačke X) od dva fokusa elipse je uvek jednak (tj. rastojanje označeno plavom bojom je konstantno za bilo koju tačku na elipsi)

Elipsa ima dva prečnika (poluprečnika) koji predstavljaju minimalno i maksimalno rastojanje njenih tačaka od njenog centra, i nazivaju se ose elipse. Ose elipse su dve prave koje sadrže njene prečnike. Prva, veća, prolazi kroz obe fokusne tačke, a druga, manja prolazi kroz njen centar, i normalna je na prvu. Polovina veće poluose se naziva velika poluosa, i u astronomiji se koristi kao jedan od orbitalnih parametara koji opisuje putanju nekog nebeskog tela.

Ukoliko su fokusne tačke elipse jedna te ista tačka, radi se o specijalnom slučaju elipse, koji se naziva krug.

Definicije

Analitička definicija

Elipsa se dobija kao presek konusa i ravni

Analitički posmatrano, elipsa je kriva drugog reda:

$f(x,y)=\alpha _{11}x^{2}+2\alpha _{12}xy+\alpha _{22}y^{2}+2\alpha _{13}x+2\alpha _{23}y+\alpha _{33}=0\,$ (opšta jednačina krive drugog reda)

Koja zadovoljava sledeće uslove:

1. 
   $\Delta ={\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\alpha _{13}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}&\alpha _{23}\\\alpha _{13}&\alpha _{23}&\alpha _{33}\end{vmatrix}}\neq 0$
   
   
2. 
   $\delta ={\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}\\\end{vmatrix}}>0$
   
   
3. Za realnu elipsu: $T\cdot \Delta =(\alpha _{11}+\alpha _{22})\cdot \Delta <0$
   Za imaginarnu elipsu (prazan skup): $T\cdot \Delta >0$

Ukoliko su ose elipse paralelne sa osama dekartovog koordinatnog sistema, ova jednačina izgleda ovako:

$\alpha _{11}x^{2}+\alpha _{22}y^{2}-\alpha _{33}=0\,$

Što se može zapisati i kao

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

U ovoj jednačini su a i b u stvari veličine poluprečnika elipse.

Fokus i direktrisa

Elipsa je geometrijsko mesto tačaka M u ravni čiji je odnos udaljenosti do jedne fiksne tačke F i do jedne fiksne prave d konstantan broj e ∈ (0,1). Ta fiksna tačka se naziva fokus, ili žiža elipse, fiksna prava direktrisa, ili vodilja, a konstantan broj, količnik naziva se (numerički) ekscentricitet.

Dokaz. Na datoj slici, stavimo da je |AA'| = 2a, pa je |A'O| = |OA| = a, a zbog |A'F| = |A'O| + |OF| i |A'G| = |A'O| + |OG| dobijamo |A'O| + |OF| = e(|A'O| + |OG|), tj. a + |OF| = e(|OG| + a). Na sličan način slijedi i jednakost a – |OF| = e(|OG| – a). Iz dobijene dve jednakosti imamo: |OF| = ae, |OG| = a/e. Prema tome, u ovako izabranom koordinatnom sistemu, žiža je tačka F(ae, 0), a direktrisa je prava d: x = a/e. Time je dokaz završen.

Zbog simetrije, postoje još jedna žiža F ′(-ae, 0) i druga direktrisa d: x = -a/e. Broj c = ae, koji predstavlja rastojanje žiže od centra elipse, naziva se linearni ekscentricitet, dok je duži naziv za broj e = c/a numerički eksentricitet.

Zbir poluprečnika

Zbir rastojanja ma koje tačke elipse od njenih žiža, fokusa F i F ′ je konstantan i iznosi 2a.

Dokaz. Ako je M(x,y) proizvoljna tačka elipse, N podnožje normale iz te tačke na direktrisu d, a N′ podnožje normale na direktrisu d′, onda je

${\overline {FM}}=e\cdot {\overline {MN}},\ {\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot {\overline {MN^{\prime }}},$

gdje je broj e ∈ (0,1) ekscentricitet elipse. Otuda je

${\overline {FM}}+{\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot ({\overline {MN}}+{\overline {MN^{\prime }}})$.

Sa druge strane, zbir u zagradi desno je rastojanje između direktrisa, koje iznosi e⋅2⋅(a/e), zato je

${\overline {FM}}+{\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot {\frac {a}{e}}=2a,$

što je i trebalo dokazati.

Površina

Površina elipse je:

$P=ab\pi$

gde su a i b poluprečnici elipse, a pi = 3,14159... matematička konstanta. Do formule za površinu se došlo izračunavanjem pomoću integrala.

Dokaz. Četvrtina površine elipse u kanonskom obliku je u prvom kvadrantu. Prema tome površina čitave elipse je

$P=4\int _{0}^{a}ydx=4\int _{0}^{a}b\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}dx=[x=a\sin t,\ dx=a\cos tdt]$

$=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}b\cdot {\sqrt {\cos ^{2}t}}\cdot \cos tdt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}tdt$

$=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2t}{2}}dt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dt}{2}}+ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos 2td2t$

$=4ab\cdot {\frac {\pi }{2}}{\Bigg |}^{\frac {\pi }{2}}+ab\sin 2t{\Bigg |}_{0}^{\frac {\pi }{2}}=ab\pi .$

Time je dokaz završen.

Ekscentricitet

Ekscentricitet je konstanta karakteristična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Izračunava se kao:

$e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$

gde su a i b dužine poluprečnika elipse. Ukoliko se sa c označi rastojanje između fokusnih tačaka elipse, e će biti:

$e={\frac {c}{a}}$

Obim

Obim elipse se može predstaviti na razne načine:

Beskonačni redovi:

$O=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right]\!\,$

Što je isto što i:

$O=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{e^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace }$

Dobru aproksimaciju ove vrednosti je napravio Ramanudžan:

$O\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,$

Koja se takođe može zapisati kao:

$O\approx \pi a\left[3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}}\right]\!\,$

U specijalnom slučaju, kada je manja osa duplo manja od veće ose, važi:

$O\approx \pi a(9-{\sqrt {35}})/2\!\,$

Elipsoid

U trodimenzionalnim koordinatnom sistemu oblik elipse se zove elipsoid. U geometriji elipsoid je telo koje je u odnosu na loptu blago spljošteno.

Aplikacije

Fizika

Optika

• U materijalu koji je optički anizotropan (dvoloman), indeks prelamanja zavisi od smera svetlosti. Zavisnost se može opisati indeksom elipsoida. (Ako je materijal optički izotropan, ovaj elipsoid je sfera.)
• U poluprovodničkim laserima koji se pumpaju pomoću lampe, reflektori u obliku eliptičnog cilindra su korišćeni za usmeravanje svetlosti od pumpne lampe (koaksijalne sa jednom elipsastom žižnom osom) na štap aktivnog medija (koaksijalno sa drugom fokusnom osom).
• U EUV izvorima svetlosti proizvedenim laserskom plazmom koji se koriste u litografiji mikročipova, EUV svetlost se generiše plazmom postavljenom u primarnom fokusu elipsoidnog ogledala i sakuplja se u sekundarnom fokusu na ulazu mašine za litografiju.

Statistika i finansije

U statistici, bivarijantni randomni vektor $(X,Y)$ je zajednički eliptički raspoređen ako su njegove konture izo-gustine — lokusi jednakih vrednosti funkcije gustine — elipse. Koncept se proširuje na proizvoljan broj elemenata slučajnog vektora, u kom slučaju su generalno konture izogustine elipsoidi. Poseban slučaj je multivarijantna normalna raspodela. Eliptične distribucije su važne u finansijama jer ako su stope prinosa na sredstva zajednički eliptično raspoređene, onda se svi portfoliji mogu u potpunosti okarakterisati njihovom srednjom vrednošću i varijansom – to jest, bilo koja dva portfolija sa identičnom srednjom vrednošću i varijansom prinosa portfolija imaju identične distribucije povraćaja portfolija.

Kompjuterska grafika

Crtanje elipse kao grafičkog primitiva je uobičajeno u standardnim displejnim bibliotekama, kao što su mekintošov QuickDraw API i Direct2D na Vindousu. Džek Bresenam iz IBM-a je najpoznatiji po pronalasku primitiva za 2D crtanje, uključujući crtanje linija i krugova, koristeći samo brze celobrojne operacije kao što su sabiranje i grananje na nosećem bitu. M. L. V. Pitevaj je 1967. proširio Bresenamov algoritam za linije na konuse. Još jednu efikasnu generalizaciju za crtanje elipsa izumeo je 1984. Džeri Van Ejken.

Godine 1970, Dani Kohen je na konferenciji „Kompjuterska grafika 1970” u Engleskoj predstavio linearni algoritam za crtanje elipsi i krugova. L. B. Smit je objavio slične algoritme za sve konusne preseke 1971. godine, i dokazao da imaju dobra svojstva. Ovim algoritmima je potrebno samo nekoliko množenja i sabiranja da bi izračunali svaki vektor.

Vidi još

• Superelipsa

Literatura

• Besant, W.H. (1907). „Chapter III. The Ellipse”. Conic Sections. London: George Bell and Sons. str. 50. 
• Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to Geometry (2nd izd.). New York: Wiley. str. 115–9. 
• Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0-486-63415-9 
• Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (3rd izd.). Scott Foresman/Little. str. 381. ISBN 978-0-673-38638-0. 
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd izd.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042 
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Elliptic coordinates”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Weisstein, Eric W. "Elliptic Cylindrical Coordinates." From MathWorld — A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EllipticCylindricalCoordinates.html
• Ahn, Sung-Joon (decembar 2008), „Geometric Fitting of Parametric Curves and Surfaces” (PDF), Journal of Information Processing Systems, 4 (4): 153—158, doi:10.3745/JIPS.2008.4.4.153, Arhivirano iz originala (PDF) 2014-03-13. g. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Chernov, N.; Ma, H. (2011), „Least squares fitting of quadratic curves and surfaces”, Ur.: Yoshida, Sota R., Computer Vision, Nova Science Publishers, str. 285—302, ISBN 9781612093994 
• Liu, Yang; Wang, Wenping (2008), „A Revisit to Least Squares Orthogonal Distance Fitting of Parametric Curves and Surfaces”, Ur.: Chen, F.; Juttler, B., Advances in Geometric Modeling and Processing, Lecture Notes in Computer Science, 4975, str. 384—397, CiteSeerX 10.1.1.306.6085 , ISBN 978-3-540-79245-1, doi:10.1007/978-3-540-79246-8_29 

Spoljašnje veze

• ellipse at PlanetMath.org.
• Weisstein, Eric W. „Ellipse”. MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. „Ellipse as special case of hypotrochoid”. MathWorld. 
• Elipsa na mathworld.wolfram.com (jezik: engleski)
• Apolonijevo izvođenje elipse (jezik: engleski)
• Konstrukcija elipse i hiperbole - dva interaktivna apleta koja pokazuju kako iscrtati elipsu i hiperbolu (jezik: engleski)
• Definicija i osobine elipse sa interaktivnim vizuelizacijama (jezik: engleski)
• The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C. by Clark Kimberling
• Ellipse circumference calculator
• Ivanov, A.B. (2001). „Ellipse”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• izmene Trammel according Frans van Schooten
• "Why is there no equation for the perimeter of an ellipse‽" na sajtu YouTube by Matt Parker