Eliptička kriva

U matematici, eliptička kriva je glatka, projektivna algebarska kriva roda jedan, na kojoj je označena tačka O. Eliptička kriva je u stvari Abelov varijetet – to jest ima algebarski definisano množenje u odnosu na koje je Abelova grupa – a O služi kao neutral. Često se sama kriva, bez označenog O naziva eliptičkom krivom.

Prikaz eliptičkih krivih. Prikazana je oblast [-3, 3]² (Za a=0 i b=0 se ne radi o glatkoj krivoj i stoga to nije eliptička kriva.)

Svaka eliptička kriva može da se zapiše kao algebarska kriva definisana jednačinom oblika

$y^{2}=x^{3}+ax+b\,$.

Ovakva jednačina naziva se Vajerštrasovom jednačinom. Kriva je nesingularna ako njen grafik nema singularnih tačaka ili samopreseka. (Kada je karakteristika polja koeficijenata jednaka 2 ili 3, gornja jednačina nije dovoljno opšta da uključi sve nesingularne kubne krive.) Tačka O je u stvari tačka u beskonačnosti na projektivnoj ravni.

Ako je y² = P(x), gde je P bilo koji polinom stepena tri od x bez ponovljenih korenova (odnosno, ako je diskriminanta polinoma P ne-nula), onda se dobija nesingularna planarna kriva roda jedan, koja je stoga takođe i eliptička kriva. Ako je P stepena četiri i nema ponovljenih faktora, ova jednačina opet opisuje krivu roda jedan; međutim ona nema prirodno izabran neutral. Opštije, svaka algebarska kriva roda jedan, na primer dobijena presekom dve trodimenzione kvadratne površine, se naziva eliptičkom krivom, pod uslovom da ima barem jednu racionalnu tačku.

Eliptičke krive su posebno važne u teoriji brojeva, i oblast su većeg dela savremenog proučavanja; na primer, korištene su u dokazu Velike Fermaove teoreme do kog je (uz pomoć Ričarda Tejlora) došao Endru Vajls. Svakoj holomorfnoj modularnoj formi težine 2 i odgovarajućeg nebentipusa odgovara eliptička kriva; ključni rezultat Vajlsovog i Tejlorovog dokaza i istraživanja koja su usledila jeste da važi i obrnuto, odnosno da je svaka eliptička kriva modularna.

Eliptičke krive takođe imaju primene u kriptografiji (vidi članak: kriptografija eliptičkih krivih) i faktorizaciji celih brojeva.

Eliptička kriva nije elipsa, niti je elipsa eliptička kriva. Videti eliptički integral za poreklo izraza.

Eliptičke krive nad realnim brojevima

Iako je formalna definicija eliptičke krive prilično tehnička po prirodi i zahteva poznavanje algebarske geometrije, moguće je opisati neka svojstva eliptičkih krivih nad realnim brojevima korišćenjem samo srednjoškolske algebre i geometrije.

Grafici krivih $y^{2}=x^{3}-x$ i $y^{2}=x^{3}-x+1$

U ovom kontekstu, eliptička kriva je planarna kriva definisana jednačinom oblika

$y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

gde su a i b realni brojevi. Ovaj tip jednačine se naziva Vajerštrasovom jednačinom.

Definicija eliptičke krive takođe zahteva da kriva bude nesingularna. Geometrijski, ovo znači da grafik ne sme da ima singularnih tačaka ili samopreseka. Algebarski, ovo podrazumeva izračunavanje diskriminante

$\Delta =-16(4a^{3}+27b^{2}).\,$

Kriva je nesingularna ako je njena diskriminanta različita od nule. (Iako faktor −16 izgleda nebitan ovde, ispostavlja se da je on zgodan u naprednijim proučavanjima eliptičkih krivih.)

Grafik nesingularne krive ima dve komponente ako je njena diskriminanta pozitivna a jednu komponentu ako je diskriminanta negativna. Na primer, u gore prikazanim graficima, diskriminanta je u prvom slučaju 64, dok je u drugom slučaju −368.

Zakon grupe

Dodavanjem tačke u beskonačnosti, dobija se projektivna verzija ove krive. Ako su P i Q dve tačke na krivoj, onda jedinstveno može da se opiše treća tačka koja je presek krive i prave koja prolazi kroz P i Q. Ako je prava tangenta na krivu u nekoj tački, onda se ta tačka broji dvaput; ako je prava paralelna y-osi, onda se treća tačka definiše kao tačka u beskonačnosti. Tačno jedan od ovih uslova važi za bilo koji par tačaka na eliptičkoj krivoj.

Tada je moguće uvesti operaciju nad grupom, "+", nad krivom, koja ima sledeća svojstva: tačka u beskonačnosti se uzima da je 0, neutral grupe; ako prava preseca krivu u tačkama P, Q i R, onda se zahteva da je P + Q + R = 0 U ovoj grupi. Može se pokazati da ovo pretvara krivu u Abelovu grupu, pa stoga i u Abelov varijetet. Takođe se može pokazati da skup K-racionalnih tačaka (uključujući tačku u beskonačnosti) formira podgrupu ove grupe. Ako se kriva označava kao E, onda se ova podgrupa obično označava kao E(K).

Gornja grupa može da se opiše algebarski kao i geometrijski. Za datu krivu y² = x³ − px − q nad poljem K (za čiju karakteristiku važi pretpostavka da nije ni 2 niti 3), i tačke P = (x_P, y_P) i Q = (x_Q, y_Q) na krivoj, neka važi pretpostavka x_P ≠ x_Q. Neka je s = (y_P − y_Q)/(x_P − x_Q); kako je K polje, s je dobro definisano. Tada može da se definiše R = P + Q = (x_R, y_R) kao

$x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q},\,$

$y_{R}=y_{P}+s(x_{R}-x_{P}).\,$

Ako je x_P = x_Q, onda postoje dva slučaja: ako je y_P = −y_Q, uključujući slučaj kada je y_P = y_Q = 0, tada je suma definisana kao 0; dakle, inverz svake tačke na krivoj se nalazi njenom refleksijom po x-osi. Ako je y_P = y_Q ≠ 0, onda je R = P + P = 2P = (x_R, - y_R) dato preko

$s={(3{x_{P}}^{2}-p)}/{(2y_{P})},\,$

$x_{R}=s^{2}-2x_{P},\,$

$y_{R}=y_{P}+s(x_{R}-x_{P}).\,$

Spoljašnje veze

• Matematički atlas: 14H52 Eliptičke krive
• Erik V. Vajsštajn, Eliptičke krive na MathWorld.
• Aritmetika eliptičkih krivih Arhivirano na sajtu Wayback Machine (8. novembar 2009) na PlanetMath

• Matlab kod za iscrtavanje grafika implicitnih funkcija Arhivirano na sajtu Wayback Machine (17. mart 2006) - može da se koristi za crtanje eliptičkih krivih.
• Interaktivni uvod u eliptičke krive i kriptografiju eliptičkih krivih

Ovaj članak uključuje materijal sa odrednice Izogenija na sajtu PlanetMath, koja je licencirana pod GLSD.