Izvod inverzne funkcije

U matematici, inverz funkcije $y=f(x)$ je funkcija koja, na neki način, "poništava" efekat funkcije $f$ (vidi inverzna funkcija za formalnu i detaljniju definiciju). Inverzna funkcija funkcije $f$ se označava kao $f^{-1}$. Izrazi y = f(x) i x = f ⁻¹(y) su jednaki.

Pravilo:
${\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}$

Primer za proizvoljno $x_{0}\approx 5.8$:
${\color {CornflowerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}$
${\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x_{0}))=4~$

Izvodi ove dve funkcije, pod pretpostavkom da postoje, su recipročni:

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.$

Ovo je direktna posledica pravila izvoda složene funkcije, pošto je, po Lajbnicovim oznakama:

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}$

a izvod od $x$ po $x$ je 1.

Ako eksplicitno zapišemo zavisnost $y$ na $x$ i uvrstimo tačku diferencijacije koristeći Lagranžovu notaciju, formula za izvod inverzne funkcije postaje:

$\left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}$

Geometrijski, funkcija i njen inverz imaju grafike koji su preslikane refleksije u ogledalu, po liniji y = x. Ova refleksija zapravo pretvara nagib tangente svake tačke u njenu recipročnu vrednost.

Ako pretpostavimo da za funkciju $f$ postoji inverzna funkcija, i da je njen izvod ne-nulti, inverz je uvek diferencijabilan u $x$ i ima vrednost kao iz formule iznad.

Primeri

• $\,y=x^{2}$ (za pozitivne vrednosti $x$) ima inverznu funkciju $x={\sqrt {y}}$.

${\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.$

Međutim, u tački x = 0 nailazimo na problem. Grafik kvadratnog korena tu ima asimptotu i postaje vertikalan (što odgovara horizontalnoj tangenti funkcije kvadrantnog korena).

• $\,y=e^{x}$ (za realne vrednosti $x$) ima inverznu funkciju $\,x=\ln {y}$ (za pozitivne vrednosti $y$)

${\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1$

Izvodi višeg reda

Identitet iznad se dobija korišćenjem pravila izvoda složene funkcije po x, za formulu x = f ⁻¹(f(x)) . Ovaj proces se može nastaviti i za izvode višeg reda. Diferencijacija ovog identita dva puta, po x daje:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0$

ili ako zamenimo prvi izvod iz formule iznad:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.$

Isto tako, za treći izvod dobijamo:

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$

ili iskoršavajući formulu za drugi izvod:

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}$

Ove formule su generalizovane kao Fa di Brunove formule.

Ove formule možemo da napišemo i preko Lajbnicovih oznaka. Ako su f i g međusobno inverzne funkcije, onda

$g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}$

Primer

• $\,y=e^{x}$ ima inverznu funkciju $\,x=\ln y$. Korišćenjem formule za drugi izvod inverzne funkcije dobijamo:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};$

tako da je

${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}$,

što se slaže sa direktnim izračunavanjem.

Vidi još

• Matematička analiza
• Inverzna funkcija
• Izvod složene funkcije