Karl Vajerštras

Karl Vajerštras
Karl Vajerštras
	Karl Vajerštras
Lični podaci
Datum rođenja	31. oktobar 1815.
Mesto rođenja	Ostenfeld, Prusko kraljevstvo
Datum smrti	19. februar 1897. (81 god.)
Mesto smrti	Berlin, Prusko kraljevstvo
Obrazovanje	Univerzitet u Bonu, Univerzitet u Minsteru, Univerzitet u Kenigsbergu
Naučni rad
Polje	matematika

Karl Vajerštras (nem. Karl Theodor Wilhelm Weierstraß; 31. oktobar 1815 Ostenfeld, pokrajina Minster — 19. februar 1897 Berlin) bio je nemački matematičar, profesor Univerziteta u Berlinu.^[1]^[2]

Poznat je po značajnim radovima iz teorije funkcija, varijacionog računa, diferencijalne geometrije i linearne algebre. Razradom sistema logičkog zasnivanja matematičke analize uticao je na njen dalji razvoj. Utvrdio je Vajerštrasov kriterijum konvergencije funkcionalnog reda, stav kojim utvrđuje da dati funkcionalni red beskonačno,Σ,n=1,Un(x) konvergira na odsečku [a,b] ako njegov modularni red za svako x koje pripada [a,b] ima konvergentnu brojnu majorantu.^[3]^[4]

Biografija uredi

Bio je najstarije dete u porodici Vilhelma Vajerštrasa i Teodore Forst.^[5] Njegov otac bio je nepopustljiv i autoritaran na krut pruski način. Težeći za nepopustljivom ispravnošću on je negativno uticao na svoju decu koja su celi život bila lično nesrećna i društveno nekorisna, izuzev Karla. Karl je ubrzo nakon rođenja s porodicom odselio u Vestfaliju u siromašni Vesternkoten jer mu je otac dobio posao u rudnicima soli. Škola mu je donela mnogo zadovoljstva, svaki školski zadatak radio je brže i bolje od drugih. Srednju školu je završio sa odličnim uspehom i brojnim nagradama koje je osvajao u mnogim predmetima. U svojoj petnaestoj godini zaposlio se u jednoj prodavnici mesnih proizvoda gde se istakao kao dobar knjigovođa. Međutim, mladi Karl se suprotno očevom očekivanju umesto računu potpuno posvetio mačevanju i ispijanju krigli piva. Tvrdoglavi otac, razočaran, poslao ga je u Bon da izuči trgovinu i pravo. Nakon tri godine Karl se vratio kući bez diplome ali kao pravi umetnik u mačevanju i ispijanju piva. Njegov ugled u mačevalačkom svetu bio je neverovatan. Njegov ugled u porodici bio je istinski očajan, oni su čupali kosu i smatrali da je porodična bruka. Ipak, tri godine koje je proveo u mačevanju i veselim društvima protekle su bez ogrebotine i poraza. Sagledao je lice i naličja života a svoje slobodno vreme provodio je u izučavanju Laplasove Nebeske mehanike. Kako bi spasio čast i rešio njegovu buduću vlastitu egzistenciju otac ga je poslao u Minster na Akademiju da postane učitelj.

U Minsteru je Karl upoznao matematičara Kristofa Gudermana, izuzetnog poznavaoca eliptičnih funkcija. Svojim predavanjima Guderman je odbio sve netalentovane studente. Na kraju ga je slušao samo Vajerštras. Jedan od temeljnih pojmova analize, potencijski red dugovao je Gudermanu. Guderman je uložio ogroman trud u Vajerštrasovo obrazovanje i formiranje i on mu je bio povodom toga zahvalan ceo život. Vajerštras je diplomirao u dvadeset i šestoj godini. Diplomirao je na temu Sokratov metod u nastavi. Vajerštrasova predavanja su se odlikovala savršenom dorađenošću, potpunim jedinstvom misli i metodologijom učitelja-stvaraoca. Nakon godinu dana probne nastave Vajerštras je briljantno položio ispit. U Gudermanovom izveštaju pisalo je da bi bila šteta da se takav čovek zakopa u srednjoj školi. Njegov ispitni rad bio je originalni doprinos matematici. Karijeru nastavnika matematike Vajerštras je započeo službujući po zabitim selima. Predavao je predmete: matematiku, fiziku, geografiju, krasnopis, pa i gimnastiku. Kada je imao dvadeset i sedam godina Vajerštras je na sisteme diferencijalnih jednačina primenio originalne metode i samostalno došao do nekih otkrića. Te godine bio je u gimnaziji u Dojč Kroneu i bavio se izučavanjem Nils Henrik Abela. Svoje radove iz matematike nije slao nikome na ocenu. U tridesetoj godini, 1848. prešao je u Katoličku gimnaziju u Braunsberg. Tamo je zatekao malu matematičku biblioteku i direktora koji je shvatio kakav mu je profesor dodeljen. Već je bio objavio rad: Opažanja o analitičkim proizvodima niza faktora. To delo je ostalo nepoznato sve do 1856. Svoj rad je Vajerštras zasnovao na Abelovim istraživanjima. Zatim je objavio rad: Doprinosi teoriji Abelovih integrala. I taj rad je prošao bez odjeka u javnosti. Vajerštrasu to nije bilo ni potrebno.

Karl Vajerštras

U svojoj trideset i osmoj godini objavljuje u Krelovom Journal-u novi rad o Abelovim funkcijama. Rad je odjeknuo kao naučna senzacija i kao potpuni anonimus ušao je u svet matematike kao njegov novi vladar koji je stigao iz nekog sela o kom se ništa nije znalo. Rad je primetio i Rišlo, profesor Univerziteta u Kenigsbergu , centru tadašnje pruske nauke. On je izdejstvovao Vajerštrasu doktorat honoris causa. Vajerštras je potom imenovan za profesora matematike u Kraljevskoj politehničkoj školi u Berlinu. Ubrzo je prešao na Berlinski univerzitet i bio je izabran u Berlinsku akademiju. Njegova slava postala je međunarodna; smatran je kao vodeći analitičar u svom vremenu. Vajerštrasova predavanja su bila izuzetno posećena. Njegove beleške za predavanja su slobodno i nesebično kružile među studentima i mnoge su se i zagubile. Predavanja koja je kasnije objavio postala su najbolji udžbenik analize iz onog vremena. Najbolji učenik Vajerštrasa bila je Ruskinja, Sonja Kovaljevska . Istina je da matematičar koji nije pomalo i pesnik nikada neće biti savršen matematičar, govori je svojim studentima. Sva lepota života i sveta van kabineta i nauke nikada mu nije bila strana. Vajerštras se, ipak, uzima kao primer strogosti u matematičkoj analizi i kritičar svih intuitivnih matematičkih škola. Njemu dugujemo za jedinstven tretman svih rezultata, čak i onih koji se odnose na najsloženija pitanja, a tangiraju oblast teorije diferencijalnih i integralnih jednačina, bez obzira na veoma smele i raznovrsne kombinacije primene superpozicija, kombinacija i transpozicija granica, pisao je Dejvid Hilbert 1929. u Matematische Annalen karakterišući njegov rad. Poslednje godine Vajerštrasovog života bile su ispunjene izuzetnim počastima.

Matematički prilozi uredi

Ispravnost računa uredi

Vajerštras je bio zainteresovan za ispravnost računa, a u to vreme postojale su donekle dvosmislene definicije osnova računa tako da važne teoreme nisu mogle biti dokazane sa dovoljnom rigoroznošću. Iako je Bolcano razvio razumno rigoroznu definiciju granice još 1817. godine (a možda i ranije), njegov rad je ostao nepoznat većini matematičke zajednice dugo godina kasnije, a mnogi matematičari su imali samo nejasne definicije granica i kontinuiteta funkcija.

Osnovna ideja iza Delta-epsilon dokaza je, verovatno, prvi put pronađena u delima Košija iz 1820-ih.^[3]^[4] Koši nije napravio jasnu razliku između kontinuiteta i uniformnog kontinuiteta na intervalu. Naročito, u svom Kursu analize iz 1821. godine, Koši je tvrdio da je granica neprekidnih funkcija (u tačci) sama po sebi neprekidna, izjava koja je generalno netačna. Tačna izjava je pre da je uniformni limit neprekidnih funkcija neprekidan (takođe, uniformni limit uniformno kontinuiranih funkcija je uniformno neprekidan). Ovo je zahtevalo koncept uniformne konvergencije, koji je prvi uočio Vajerštrasov savetnik, Kristof Guderman, u radu iz 1838. godine, gde je Guderman opisao fenomen, ali ga nije definisao niti ga je razradio. Vajerštras je uvideo važnost koncepta, i formalizovao ga je, i široko primenio kroz osnove računa.

Formalna definicija kontinuiteta funkcije, kako je formulisao Vajerštras, je sledeća:

$\displaystyle f(x)$ je kontinuirano pri $\displaystyle x=x_{0}$ ako je $\displaystyle \forall \ \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0$ tako da je za svako $x$ u domenu $f$ , $\displaystyle \ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$ . Drugim rečima, $\displaystyle f(x)$ je kontinuirana u tački $\displaystyle x=x_{0}$ ako je za svako $x$ dovoljno blizu $x_{0}$ , vrednost funkcije $f(x)$ je veoma blizu $f(x_{0})$ , gde ograničenje „dovoljno blizu“ obično zavisi od željene bliskosti $f(x_{0})$ do $f(x)$ . Koristeći ovu definiciju, dokazao je teoremu o srednjoj vrednosti. On je takođe dokazao Bolcano–Vajerštrasovu teoremu i koristio je za proučavanje osobina neprekidnih funkcija na zatvorenim i ograničenim intervalima.

Izabrani radovi uredi

Zur Theorie der Abelschen Funktionen (1854)
Theorie der Abelschen Funktionen (1856)
Abhandlungen-1, Math. Werke. Bd. 1. Berlin 1894
Abhandlungen-2, Math. Werke. Bd. 2. Berlin 1895
Abhandlungen-3, Math. Werke. Bd. 3. Berlin 1903
Vorl. ueber die Theorie der Abelschen Transcendenten, Math. Werke. Bd. 4. Berlin 1902
Vorl. ueber Variationsrechnung, Math. Werke. Bd. 7. Leipzig 1927

Reference uredi

^ Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm. (2018). In Helicon (Ed.), The Hutchinson unabridged encyclopedia with atlas and weather guide. [Online]. Abington: Helicon. Available from: http://libezproxy.open.ac.uk/login?url=https://search.credoreference.com/content/entry/heliconhe/weierstrass_karl_theodor_wilhelm/0?institutionId=292 [Accessed 8 July 2018].
^ Mišić, Milan, ur. (2005). Enciklopedija Britanika. V-Đ. Beograd: Narodna knjiga : Politika. str. 9. ISBN 86-331-2112-3.
^ ^a ^b Grabiner, Judith V. (mart 1983), „Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus” (PDF), The American Mathematical Monthly, 90 (3): 185—194, JSTOR 2975545, doi:10.2307/2975545
^ ^a ^b Cauchy, A.-L. (1823), „Septième Leçon – Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées ${\frac {\infty }{\infty }},\infty ^{0},\ldots$ Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée”, Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, Arhivirano iz originala 2009-05-04. g., Pristupljeno 2009-05-01, p. 44.
^ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (oktobar 1998). „Karl Theodor Wilhelm Weierstrass”. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland. Pristupljeno 7. 9. 2014.

Literatura uredi

Holladay, John C. (1957), „The Stone–Weierstrass theorem for quaternions” (PDF), Proc. Amer. Math. Soc., 8: 656, doi:10.1090/S0002-9939-1957-0087047-7  .
Louis de Branges (1959), „The Stone–Weierstrass theorem”, Proc. Amer. Math. Soc., 10 (5): 822—824, doi:10.1090/s0002-9939-1959-0113131-7  .
Jan Brinkhuis & Vladimir Tikhomirov (2005) Optimization: Insights and Applications, Princeton University Press ISBN 978-0-691-10287-0.
Glimm, James (1960), „A Stone–Weierstrass Theorem for C*-algebras”, Annals of Mathematics, Second Series, 72 (2): 216—244, JSTOR 1970133, doi:10.2307/1970133
Bishop, Errett (1961), „A generalization of the Stone–Weierstrass theorem”, Pacific Journal of Mathematics, 11 (3): 777—783, doi:10.2140/pjm.1961.11.777  .
Glicksberg, Irving (1962), „Measures Orthogonal to Algebras and Sets of Antisymmetry”, Transactions of the American Mathematical Society, 105 (3): 415—435, JSTOR 1993729, doi:10.2307/1993729  .
Hewitt, E; Stromberg, K (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag .
Rudin, Walter (1976), Principles of mathematical analysis (3rd. izd.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054235-8 .
Rudin, Walter (1973), Functional analysis , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054236-8 .
Nachbin, L. (1949), „Sur les algèbres denses de fonctions diffèrentiables sur une variété”, C. R. Acad. Sci. Paris, 228: 1549—1551
Llavona, José G. (1986), Approximation of continuously differentiable functions, Amsterdam: North-Holland, ISBN 9780080872414
JG Burkill, Lectures On Approximation By Polynomials (PDF) .
K. Weierstrass (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1885 (II).
Erste Mitteilung Arhivirano na sajtu Wayback Machine (10. jun 2018) (part 1) pp. 633–639, Zweite Mitteilung Arhivirano na sajtu Wayback Machine (8. jul 2017) (part 2) pp. 789–805.
Stone, M. H. (1937), „Applications of the Theory of Boolean Rings to General Topology”, Transactions of the American Mathematical Society, 41 (3): 375—481, JSTOR 1989788, doi:10.2307/1989788  .
Stone, M. H. (1948), „The Generalized Weierstrass Approximation Theorem”, Mathematics Magazine, 21 (4): 167—184, JSTOR 3029750, MR 27121, doi:10.2307/3029750 ; 21 (5), 237–254.
Section 31, Theorem 2 (pp. 124–125) of Knopp, Konrad (1996), Theory of Functions, Dover Publications, ISBN 978-0-486-69219-7