Kvadratna forma

Kvadratna forma je algebarski pojam koji označava preslikavanje $\Phi :V\to K$, gde je V vektorski prostor nad poljem K, indukovano preslikavanjem $F:V\times V\to K$, i to tako da važi $(\forall u\in V)\Phi (u)=F(u,u)$, a koje ispunjava uslove:

$1^{\circ }(\forall \alpha \in K)(\forall u\in V)\Phi (\alpha u)=\alpha ^{2}\Phi (u)$, i

$2^{\circ }F_{0}(u,v)=\Phi (u+v)-\Phi (u)-\Phi (v)$ je bilinearno preslikavanje.

Skup svih ovakvih preslikavanja Ф označava se sa Q(V, K), i za njega važi da je potprostor prostora svih preslikavanja iz V u K ($K^{V}$).

Osobine kvadratnih formi

S obzirom na definiciju, ukoliko je F simetrična bilinearna forma, važiće i $F_{0}=2F$, za već date oznake. Dodatno, ako polje K nije polje karakteristike 2, tada će, imajući u vidu datu jednakost, biti i $F(u,v)={\frac {1}{2}}(\Phi (u+v)-\Phi (u)-\Phi (v))$.

Važi i obratno, tj. za ma koje preslikavanje Ф koje ispunjava 1° i 2° postojaće jedinstvena bilinearna forma F za koju važi $(\forall u\in V)\Phi (u)=F(u,u)$ i $F(u,v)={\frac {1}{2}}(\Phi (u+v)-\Phi (u)-\Phi (v))$, ali samo ukoliko je karakteristika polja K veća od 2.

Upravo ova jednoznačnost dozvoljava uvođenje posebnog naziva za funkciju F — polarizacija ili polarna forma kvadratne forme Ф.

Pored ovoga, može se definisati i izomorfizam vetorskih prostora Q(V, K) i S2(V, K) — $\Omega :Q(V,K)\to S2(V,K)$ sa $\Omega (\Phi )=F$.

Matrice kvadratnih formi

Neka je Ф kvadratna forma i F njena polarizacija i А ($A=[a_{ij}]$) matrica F u bazi е ($e=[e_{1},...,e_{n}]$). Pošto je F bilinearna forma, važi $F(u,v)=X^{T}AY$, za neke X i Y. No, kako $\Phi (u)=F(u,u)$, to je $\Phi (u)=X^{T}AY$, za X kolonu koordinata vektora u u bazi е. Ipak, ovakva matrica А nije jednoznačno određena, ali među svima koje ispunjavaju uslov postoji jedinstvena koja je simetrična. Ovo je matrica polarizacije F za Ф u bazi е, a ona se još naziva i matricom kvadratne forme Ф u bazi е, i označava se sa $[\Phi ]_{e}$. Slično kao malopre, data matrica kvadratne forme određuje tačno jednu kvadratnu formu (tj. važi i obrat). Opšta matrica kvadratne forme u bazi dimenzije n je oblika

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots &a_{1n}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}&\dots &a_{2n}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}&\dots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&a_{3n}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}$,

tj. važi $[A]_{ij}=[A]_{ji}$ za i i j koji su između 1 i n.

Determinanta matrice kvadratne forme Ф se još naziva i diskriminantom kvadratne forme, u oznaci $\Delta _{e}(\Phi )=\det[\Phi ]_{e}$. Ukoliko postoji još neka baza prostora V — g takva da $g=Pe$ tada važi $\Delta _{g}(\Phi )=(\det P)^{2}\Delta _{e}(\Phi )$.

Vidi još

• Linearna algebra
• Preslikavanje
• Vektorski prostor

Literatura

• Kalajdžić, Gojko (2007). Linearna algebra. Matematički fakultet. ISBN 9788675890621.