a stepenovanje prirodnim stepenom se može definisati kao ponovljeno množenje:
što je inspirisalo Knuta da definiše operator 'dvostruke strelice' za ponovljeno stepenovanje:
Ovde i nadalje izračunavanje se sprovodi zdesna ulevo (kao takva, operacija je desno asocijativna):
Prema ovoj definiciji,
(u razloženom obliku, ovaj broj bi popunio nekoliko povećih hard diskova[1])
itd.
Ovo već vodi do prilično velikih brojeva, ali Knut je proširio svoju notaciju. Definisao je operator 'trostruke strelice' za ponovljenu primenu operatora 'dvostruke strelice':
dalje imamo operator 'četiri strelice':
i tako dalje. Opšte pravilo je da se operator strelica razlaže u seriju operatora strelica. Simbolički,
U izrazima kao što je , notacija za stepenovanje obično podrazumeva da se eksponent zapisuje iznad sa desne strane od baznog broja . Međutim, mnoga okruženja – kao što su programski jezici – ne podržavaju takav dvodimenzioni zapis. Zbog toga je usvojena linearna notacija za ovakva okruženja; strelica nagore predstavlja 'dizanje na stepen'. Ako u skupu karaktera ne postoji strelica nagore, koristi se simbol ^.
Notacija sa zapisivanjem eksponenta iznad broja koji se diže na stepen, nije pogodna za generalizaciju, što objašnjava zašto je knut izabrao da radi sa strelicom nagore, .
U kontekstu programskog jezika C, karakter ^ označava ekskluzivno ili XOR. ** je uobičajena alternativa za pa je u ovom kontekstu moguće koristiti dva simbola za ponavljanje operatora. Moguće je uzeti da je *** ekvivalentno sa , ali ova upotreba nije uobičajena.
Neki brojevi su toliko veliki da čak i zapis sa višestrukim strelicama nagore postaje preglomazan: tada je od koristi operator -strelica (kao i za opise sa promenljivim brojem strelica), ili ekvivalentno, hiper operatori.
Neki brojevi su toliko veliki da ni ovakva notacija nije dovoljna. Primer za ovo je Grejemov broj. U ovim slučajevima se može koristiti Konvejeva lančana notacija: lanac od tri elementa je ekvivalentan ostalim notacijama, ali lanac od četiri elementa je još veći.
Obično se Knutova notacija koristi za brojeve relativno manje magnitude, a lančane strelice ili hiper operatori za veće brojeve.
Knutova notacija se formalno definiše na sledeći način
za sve cele brojeve i .
Svi operatori strelice nagore (uključujući klasično stepenovanje, ) su desno asocijativni, to jest, izračunavanje se sprovodi zdesna ulevo ukoliko izraz sadrži dva ili više takvih operatora. Na primer, , ne ; na primer
je a ne
Postoji dobar razlog zašto je izabran ovakav redosled izračunavanja. Da je korišćeno izračunavanje sleva udesno, tada bi bilo jednako
, pa suštinski ne bi bilo nova operacija.
Desna asocijativnost je takođe prirodna jer možemo da prepišemo ponovljeni sa strelicama koji se ponavlja u razvoju kao
, pa je svako levi operand operatora strelice. Ovo je značajno jer operatori strelice nisu komutativni.
Računanje se može zapisati u beskonačnoj tablici. Zapisujemo brojeve 2 u prvoj vrsti, i punimo desnu kolonu vrednostima 2. Kako bi se odreila neka vrednost u tablici, uzima se broj odmah levo od nje, a zatim se traži broj u prethodnoj vrsti na pziciji označenoj ovim brojem.
Tablica je ista kao kod Akermanove funkcije, osim zamene i , i dodatka 3 svim vrednostima.
Računanje
Stavimo brojeve 3 u gornju vrstu, i popunimo levu kolonu trojkama. Kako bi odredili neku vrednost u tabeli, uzmemo broj odmah levo do njega, i potražimo broj u prethodnoj vrsti, na poziciji koju označava broj koji smo uzeli.
Popunimo prvu vrstu brojevima 10 , a prvu kolonu desetkama. Kako bi odredili neku vrednost u tabeli uzmimamo broj odmah levo do ove pozicije, i potražimo broj u prethodnoj vrsti, na poziciji koju označava broj koji smo uzeli.