Konvergentni redovi

U matematici, red je suma članova niza brojeva.

Dat je izraz $\left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}$, n-ta parcijalna suma $S_{n}$ je zbir prvih n izraza niza, koji je,

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.$

Niz je konvergentan ako je niz njegovih parcijalnih suma$\left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}$ konvergentan; Drugim rečima, on približava određeni broj. U formalnom jeziku, niz konvergira ako postoji limit $\ell$ takav da za bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj $\varepsilon >0$, postoji veliki ceo broj $N$ takav da je svako $n\geq \ N$,

$\left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \varepsilon .$

Za svaku serija koja se ne konvergira se kaže da je divergentna.

Primeri konvergentnih i divergentnih redova

• Recipročni brojevi pozitivnih celih brojeva proizvode divergentne redove (harmonijski redovi):

  ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty .$

• Naizmenični znaci recipročnih pozitivnih celih brojeva proizvode konvergentne redove:

  ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}\cdots =\ln(2)$

• Recipročni brojevi prostih brojeva proizvode divergentne redove (tako da je skup prostih brojeva "veliki"):

  ${1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty .$

• Recipročni brojevi trougaonih brojeva proizvode konvergentne redove:

  ${1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =2.$

• Recipročni brojevi faktorijala proizvode konvergentne redove (vidi e):

  ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =e.$

• Recipročni brojevi kvadratnih brojeva proizvode konvergentne redove (Bazelski problem):

  ${1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.$

• Recipročni brojevi snage 2 proizvode konvergentne redove (tako da je skup snage 2 "mali"):

  ${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.$

• Naizmenični znaci recipročnih snaga 2 takođe proizvode konvergentne redove:

  ${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots ={2 \over 3}.$

• Recipročnih brojevi Fibonačijevih brojeva proizvode konvergentne redove (vidi ψ):

  ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =\psi .$

Testiranje konvergencije

Postoji veliki broj metoda kojima se određuje li je red konvergentan ili divergentan.

Ako se za plave redove, $\Sigma b_{n}$, može dokazati da konvergiraju, onda manji redovi, $\Sigma a_{n}$ moraju da konvergiraju. Kontrapozicija, ako je za crvene redove, $\Sigma a_{n}$ dokazano da divergiraju, onda $\Sigma b_{n}$ moraju takođe da divergiraju.

Test poređenja. Izrazi niza $\left\{a_{n}\right\}$ su upoređeni sa onima drugog niza $\left\{b_{n}\right\}$. Ako,

ѕa sve n, $0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}$, i $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ konvergira, onda konvergira i $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$

Međutim, ako

ѕa sve n, $0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}$, i $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ divergira, onda divergira i $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.$

Test odnosa. Pretpotavimo da je za svako n, $a_{n}>0$. Pretpostavimo da postoji $r$ takvo da je

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.$

Ako je r < 1, onda niz konvergira. Ako je r > 1, onda niz divergira. Ako je r = 1, test odnosa je neuverljiv i nizovi mogu da konvergiraju ili divergiraju.

Test korena or Ili test n-tog korena. Pretpostavimo da su u nizu u izrazi ne-negativni. Definisati r kao što sledi:

$r=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},$

gde je "lim sup" označava granicu superior (eventualno ∞; ukoliko limit postoji, on je ista vrednost).

Ako je r < 1, onda niz konvergira. Ako je r > 1, onda niz divergira. Ako je r = 1, test korena je neuverljiv i nizovi mogu da konvergiraju ili divergiraju.

Test odnosa i test korena se zasnivaju na poređenju sa geometrijskim nizovima, i kao takvi se koriste u sličnim situacijama. U stvari, ako test odnosa radi (što znači da ograničenje postoji i nije jednako 1), onda radi i test korena; Obrnuto, međutim, nije tačno. Test korena je stoga uopšte mogue, ali u praktičnom smislu granicu je često teško izračunati za najčešće viđene tipove nizova.

Test integrala. Niz se može uporediti sa integralom da se uspostavi konvergiranje ili divergiranje. Neka $f(n)=a_{n}$ bude pozitivan i monotono smanjuje funkciju. Ako je

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,$

onda red konvergira. Ali, ako integral divergira, onda to radi i niz.

Test ograničenja. Ako je $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0$, i granica $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ postoji i nije nula, onda $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergira ako i samo ako $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ konvergira.

Test naizmeničnih redova. Poznat i kao Lajbnic kriterijum, test naizmeničnih redova navodi da je za naizmenični red oblika $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}$, ako je $\left\{a_{n}\right\}$monotono opadajuće, a ima ograničenje od 0 u beskonačnosti, onda red konvergira.

Test koši kondenzacije. Ako je $\left\{a_{n}\right\}$ pozitivan monotono opadajući niz, onda  $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergira ako i samo ako $\sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}$ konvergira.

Dirikletov test

Abelov test

Rabeov test

 Uslovna i apsolutna konvergencija

Ilustracija uslovne konvergencije snage reda log(z+1) oko 0 procenjena na z = exp((π−¹⁄₃)i). Dužina linije je beskonačna.

Za bilo koji red $\left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}$, $a_{n}\leq \ \left|a_{n}\right\vert$ za bilo koje n. Dakle,

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \ \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert .$

To znači da ako $\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert$ konvergira, onda $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ takođe konvergira (ali ne i obrnuto).

Ako red $\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert$ konvergira, onda je red $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ apsolutno konvergentan. Apsolutno konvergentan red je onaj u kom se dužina linije stvorena spajanjem svih koraka u parcijalnu sumu i on je konačno dug. Snaga reda eksponencijalne funkcije apsolutno konvergira svuda.

Ako red $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergira, a red $\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert$ divergira, onda je red $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ uslovno konvergentan. Put formiran povezivanjem parcijalne sume uslovno konvergentnog reda je beskonačno dug. Snaga reda logaritma uslovno konvergira.

Teorema Rimanovog reda tvrdi da je, ako niz uslovno konvergira, moguće preurediti uslove niza na takav način da niz konvergira za bilo koju vrednost, ili čak divergira.

Jedinstvena konvergencija

Neka je $\left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}$ niz funkcije.   Niz ravnomerno konvergira za f ako je niz $\{s_{n}\}$ parcijalnog zbira definisan kao

$s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)$

konvergira jedinstveno za f.

Postoji analog uporednog testa za beskonačni niz funkcije koji se zove Veierstres M-test.

Kriterijum Košijeve konvergencije

Kriterijum Košijeve konvergencije navodi da niz

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

konvergira ako i samo ako je niz parcijalnog zbira Košijev niz. Ovo znači da za svako $\varepsilon >0,$ postoji pozitivan ceo broj $N$ takav da za svako $n\geq m\geq N$ postoji

$\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon ,$

što je ekvivalentno

$\lim _{n\to \infty \atop m\to \infty }\sum _{k=n}^{n+m}a_{k}=0.$

Vidi još

• Granična vrednost niza
• Normalna konvergencija
• Lista matematičkih redova
• Divergentni redovi

Literatura

• Bromwich, T. J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
• Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). „Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 36 (3): 192—197. doi:10.1073/pnas.36.3.192.  MR0033975

Spoljašnje veze

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Finite-difference calculus" Encyclopedia of Mathematics, Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Retrieved May 16, 2005.