Konstanta

Konstanta je broj ili imenovana brojevna vrednost koja se u toku računa ne menja i predstavlja suprotnost promenljivoj čija vrednost se u svakom trenutku može promeniti. Konstanta može imati određenu ili neodređenu vrednost.

Generalno u matematici, reč konstanta može da ima višestruka značanja. Kao pridev, odnosi se na nevarijansu (tj. nepromenjivu u odnosu na neku drugu vrednost); kao imenica ima dva različita značenja:

Fiksni i dobro definisani broj ili drugi matematički objekat koji se ne menja.^[1] Pojmovi matematička konstanta ili fizička konstanta ponekad se koriste za razlikovanje ovog značenja.
Funkcija čija vrednost ostaje nepromenjena (tj. konstantna funkcija).^[2] Takva konstanta je obično predstavljena promenljivom koja ne zavisi od glavne promenljive u pitanju. To je slučaj, na primer, za konstantu integracije, koja je proizvoljna konstantna funkcija (tj. ona koja ne zavisi od promenljive integracije) dodata određenom antiderivativu da bi se dobili svi antiderivativi date funkcije.

Na primer, opšta kvadratna funkcija obično se zapisuje kao:

ax^{2}+bx+c\,,

gde su $a$ , $b$ i $c$ konstante (ili parametri), a $x$ je promenljiva—rezervirano mesto za argument funkcije koja se proučava. Eksplicitniji način označavanja ove funkcije je

x\mapsto ax^{2}+bx+c\,,

što čini funkcijsko-argumentni status $x$ (i produženjem konstantnosti $a$ , $b$ i $c$ ) jasnim. U ovom primeru $a$ , $b$ i $c$ su koeficijenti polinoma. Budući da se $c$ javlja u članu koji ne uključuje $x$ , ona se naziva konstantnim članom polinoma i može se smatrati koeficijentom $x 0$ . Uopštenije, bilo koji polinomski član ili izraz nultog stepena je konstanta.^[3]^‍:18

Konstantna funkcija uredi

Konstanta se može koristiti za definisanje konstantne funkcije koja ignoriše svoje argumente i uvek daje istu vrednost.^[4]^[5]^[6] Konstantna funkcija jedne promenljive, kao što je $f(x)=5$ , ima grafikon horizontalne ravne linije paralelne sa x-osom. Takva funkcija uvek uzima istu vrednost (u ovom slučaju 5), jer se njen argument ne pojavljuje u izrazu koji definiše funkciju.

Arnost je broj argumenata ili operanada koje uzima funkcija ili operacija u logici, matematici i računarstvu. U matematici se arnost takođe može nazivati rangom,^[7]^[8] mada ova reč može imati mnoga druga značenja u matematici. U logici i filozofiji se takođe naziva adičnost and stepen.^[9]^[10] U lingvistici se obično naziva valencija.^[11]

Zavisnost od konteksta uredi

Od konteksta zavisna priroda koncepta „konstante“ može se videti u ovom primeru iz elementarnog računa:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{јер је }}x{\text{ константа (тј. не зависи од }}h{\text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {constant,} &&{\text{gde }}\mathbf {constant} {\text{ значи да не зависи од }}x.\end{aligned}}

„Konstantno“ znači da ne zavisi od neke promenljive; ne menjajući se kako se ta promenljiva menja. U prvom slučaju gore, to znači ne zavisiti od h; u drugom znači ne zavisi od h. Konstanta u užem kontekstu mogla bi se smatrati promenljivom u širem kontekstu.^[1]

Značajne matematičke konstante uredi

Neke vrednosti se često javljaju u matematici i konvencionalno se označavaju određenim simbolom.^[12]^[2] Ovi standardni simboli i njihove vrednosti nazivaju se matematičkim konstantama. Primeri uključuju:

0 (nula).
1 (jedan), prirodni broj nakon nule.
$π$ (pi), konstanta koja predstavlja odnos obima kruga i njegovog prečnika, približno jednak 3,141592653589793238462643.^[13]
$e$ , približno jednak sa 2,718281828459045235360287.
$i$ , imaginarna jedinica takva da je $i 2 = -1$ .^[14]^[15]
${\sqrt {2}}$ (kvadratni koren od 2), dužina dijagonale kvadrata sa stranama, približno jednakim sa 1,414213562373095048801688.^[16]^[17]
$φ$ (zlatni presek), približno jednak sa 1,618033988749894848204586, ili algebarski, $1+{\sqrt {5}} \over 2$ .^[1]

Konstante u računu uredi

U kalkulusu, konstante se tretiraju na nekoliko različitih načina u zavisnosti od operacije. Na primer, izvod konstantne funkcije je nula. To je zato što izvod meri brzinu promene funkcije u odnosu na promenljivu, a kako se konstante, po definiciji, ne menjaju, njihov izvod je otuda nula.

Suprotno tome, kada se integriše konstantna funkcija, konstanta se množi promenljivom integracije. Tokom procene limita, konstanta ostaje ista kao što je pre i nakon procene.

Integracija funkcije jedne promenljive često uključuje konstantu integracije.^[18]^[19]^[20]^[21] Ovo nastaje zbog činjenice da je integralni operator inverzan diferencijalnom operatoru, što znači da je cilj integracije oporavak izvorne funkcije pre diferencijacije. Diferencijal konstantne funkcije je nula, kao što je gore napomenuto, i diferencijalni operator je linearni operator, te funkcije koje se razlikuju samo konstantnim članom imaju isti derivat. Da bi se to iskazalo, konstanta integracije se dodaje neodređenom integralu; ovo osigurava da su uključena sva moguća rešenja. Konstanta integracije se obično piše kao 'c' i predstavlja konstantu sa fiksnom, ali nedefinisanom vrednošću.

Primeri uredi

Ako je $f$ konstantna funkcija takva da je $f(x)=72$ za svako $x$ onda je

{\begin{aligned}f'(x)&=0\\\int f(x)\,dx&=72x+c\end{aligned}}

Vidi još uredi

Referefence uredi

^ ^a ^b ^v „Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-03-01. Pristupljeno 2020-08-08.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. „Constant”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-08.
^ Foerster, Paul A. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition (Classics izd.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-165711-9.
^ Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File, New York. str. 94. ISBN 0-8160-5124-0.
^ C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function” (PDF). Addison-Wesley. str. 175. Pristupljeno 12. 1. 2014. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ Weisstein, Eric (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, London. str. 313. ISBN 0-8493-9640-9.
^ Hazewinkel, Michiel (2001). Encyclopaedia of Mathematics, Supplement III. Springer. str. 3. ISBN 978-1-4020-0198-7.
^ Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. str. 356. ISBN 978-0-12-622760-4.
^ Detlefsen, Michael; McCarty, David Charles; Bacon, John B. (1999). Logic from A to Z . Routledge. str. 7. ISBN 978-0-415-21375-2.
^ Cocchiarella, Nino B.; Freund, Max A. (2008). Modal Logic: An Introduction to its Syntax and Semantics. Oxford University Press. str. 121. ISBN 978-0-19-536658-7.
^ Crystal, David (2008). Dictionary of Linguistics and Phonetics (6th izd.). John Wiley & Sons. str. 507. ISBN 978-1-405-15296-9.
^ „Compendium of Mathematical Symbols: Constants”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-03-01. Pristupljeno 2020-08-08.
^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001). Pi – Unleashed . Springer. str. 240. ISBN 978-3540665724.
^ Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences (3rd izd.). New York [u.a.]: Wiley. str. 49. ISBN 0-471-19826-9.
^ Doxiadēs, Apostolos K.; Mazur, Barry (2012). Circles Disturbed: The interplay of mathematics and narrative (illustrated izd.). Princeton University Press. str. 225. ISBN 978-0-691-14904-2 — preko Google Books.
^ Fowler, David H. (2001), „The story of the discovery of incommensurability, revisited”, Neusis (10): 45—61, MR 1891736
^ „A002193 - OEIS”. oeis.org. Pristupljeno 2020-08-10.
^ „Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-03-01. Pristupljeno 2020-08-14.
^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th izd.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th izd.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.
^ „Definition of constant of integration | Dictionary.com”. www.dictionary.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-14.

Literatura uredi

Enderton, Herbert (1977). Elements of set theory. Academic Press. ISBN 0-12-238440-7.
The Ontario Curriculum Grades 1-8 Mathematics. Toronto Ontario: Ontario Ministry of Education. 2005. ISBN 0-7794-8121-6.
The Ontario Curriculum Grades 9-10 Mathematics. Toronto, Ontario: Ontario Ministry of Education. 2005.
The Ontario Curriculum Grades 11-12 Mathematics. Toronto Ontario: Ontario Ministry of Education. 2007.
Small, Marian (2017). Making Math Meaningful To Canadian Students, K-8 3rd edition. Toronto: Nelson Education. ISBN 978-0-17-658255-5.
Rautenberg, Wolfgang (2010), A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd izd.), New York, NY: Springer Science+Business Media, ISBN 978-1-4419-1220-6, doi:10.1007/978-1-4419-1221-3
Smith, David E (1958). History of Mathematics. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8.
Carter, John A.; Cuevas, Gilbert J.; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). „1”. Advanced Mathematical Concepts - Pre-calculus with Applications, Student Edition (1 izd.). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. ISBN 978-0078682278.
Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag (2007).
Quine, W. V. O. (1940), Mathematical logic, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, str. 13
Robinson, Abraham (1966), Non-standard Analysis, Amsterdam: North-Holland, str. 19
Oliver, Alex (2004). „Multigrade Predicates”. Mind. 113 (452). doi:10.1093/mind/113.452.609.
Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
Collet & Eckmann (1980). Iterated maps on the inerval as dynamical systems . Birkhauser. ISBN 3-7643-3026-0.
Finch, Steven (2003). Mathematical constants . Cambridge University Press. str. 67. ISBN 0-521-81805-2.
May, Robert (1976). Theoretical Ecology: Principles and Applications. Blackwell Scientific Publishers. ISBN 0-632-00768-0.
Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5.
Tatersall, James (2005). Elementary number theory in nine chapters (2nd ed.
Yanofsky, N. (2016). „Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science”. Arhivirano iz originala 2016-06-30. g.

Spoljašnje veze uredi

„Equation”. Dictionary.com. Dictionary.com, LLC. Pristupljeno 2009-11-24.
Dawkins, Paul (2007). „College Algebra”. Lamar University. str. 224. Pristupljeno 12. 1. 2014. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
Weisstein, Eric W. „Constant of Integration”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-14.

[:0-1] v „Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-03-01. Pristupljeno 2020-08-08.

[#1-2] Weisstein, Eric W. „Constant”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-08.

[3] Foerster, Paul A. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition (Classics izd.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-165711-9.

[4] Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File, New York. str. 94. ISBN 0-8160-5124-0.

[5] C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Constant Function” (PDF). Addison-Wesley. str. 175. Pristupljeno 12. 1. 2014. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[6] Weisstein, Eric (1999). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press, London. str. 313. ISBN 0-8493-9640-9.

[Hazewinkel2001-7] Hazewinkel, Michiel (2001). Encyclopaedia of Mathematics, Supplement III. Springer. str. 3. ISBN 978-1-4020-0198-7.

[Schechter1997-8] Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. str. 356. ISBN 978-0-12-622760-4.

[DetlefsenBacon1999-9] Detlefsen, Michael; McCarty, David Charles; Bacon, John B. (1999). Logic from A to Z . Routledge. str. 7. ISBN 978-0-415-21375-2.

[CocchiarellaFreund2008-10] Cocchiarella, Nino B.; Freund, Max A. (2008). Modal Logic: An Introduction to its Syntax and Semantics. Oxford University Press. str. 121. ISBN 978-0-19-536658-7.

[Crystal2008-11] Crystal, David (2008). Dictionary of Linguistics and Phonetics (6th izd.). John Wiley & Sons. str. 507. ISBN 978-1-405-15296-9.

[12] „Compendium of Mathematical Symbols: Constants”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-03-01. Pristupljeno 2020-08-08.

[13] Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001). Pi – Unleashed . Springer. str. 240. ISBN 978-3540665724.

[14] Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences (3rd izd.). New York [u.a.]: Wiley. str. 49. ISBN 0-471-19826-9.

[15] Doxiadēs, Apostolos K.; Mazur, Barry (2012). Circles Disturbed: The interplay of mathematics and narrative (illustrated izd.). Princeton University Press. str. 225. ISBN 978-0-691-14904-2 — preko Google Books.

[16] Fowler, David H. (2001), „The story of the discovery of incommensurability, revisited”, Neusis (10): 45—61, MR 1891736

[17] „A002193 - OEIS”. oeis.org. Pristupljeno 2020-08-10.

[18] „Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (na jeziku: engleski). 2020-03-01. Pristupljeno 2020-08-14.

[19] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th izd.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.

[20] Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th izd.). Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4.

[21] „Definition of constant of integration | Dictionary.com”. www.dictionary.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-14.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]